Ableitungsregeln – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (3 BE/Punkte)

   a) Man leitet summandenweise ab (Summenregel) und verwendet für jede Potenz die Potenzregel \((x^n)'=nx^{n-1}\) mit Faktorregel: \((4x^3)'=12x^2\), \((-5x^2)'=-10x\), \((x)'=1\); die Konstante \(-9\) fällt weg, weil sie die Steigung nicht beeinflusst. Also \(f'(x)=12x^2-10x+1\) (1 P.).
   b) Bruch und Wurzel werden zuerst als Potenzen geschrieben: \(g(x)=6x^{-2}+3x^{1/2}\) (1 P.). Dann gilt die Potenzregel auch für negative und gebrochene Exponenten: \(g'(x)=-12x^{-3}+\frac32x^{-1/2}=-\frac{12}{x^3}+\frac{3}{2\sqrt x}\), definiert für \(x\gt0\) (1 P.).
   c) Ohne Produktregel multipliziert man zuerst aus: \(h(x)=x^2+3x-10\), also \(h'(x)=2x+3\) (1 P.). Häufiger Fehler: die Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren, das ergäbe falsch \(1\cdot1=1\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Potenzregel summandenweise: \(f'(x)=3x^2-6x\) (1 P.). An der Stelle \(x_0=3\): \(f'(3)=3\cdot9-6\cdot3=27-18=9\). Der Graph steigt dort mit der Steigung \(9\), sehr steil, sein Steigungswinkel beträgt etwa \(83{,}7^\circ\) (1 P.).
   b) Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\), also löst man \(f'(x)=0\). Ausklammern: \(3x(x-2)=0\), daher \(x_1=0\) oder \(x_2=2\) (1 P.). Die zugehörigen \(y\)-Werte berechnet man mit \(f\), nicht mit \(f'\): \(f(0)=2\) und \(f(2)=8-12+2=-2\). Die Punkte mit waagerechter Tangente sind \((0|2)\) und \((2|-2)\) (1 P.). Es handelt sich um den Hochpunkt und den Tiefpunkt des Graphen, weil \(f'\) dort jeweils das Vorzeichen wechselt.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate des Weges, also die Ableitung: \(v(t)=s'(t)=\frac12\cdot2t+2=t+2\). Nach \(10\) s: \(v(10)=12\) m/s. Umrechnung mit dem Faktor \(3{,}6\): \(12\cdot3{,}6=43{,}2\) km/h (1 P.).
   b) Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t)=v'(t)=1\,\mathrm{m/s^2}\) (1 P.). Sie ist konstant, der Bus wird also in jeder Sekunde um \(1\) m/s schneller. Der Summand \(2t\) im Weg bedeutet, dass der Bus beim Start schon \(2\) m/s fährt.
   c) Zuerst Einheiten angleichen: \(36\) km/h \(=36:3{,}6=10\) m/s (1 P.). Dann \(t+2=10\), also \(t=8\) s (1 P.). Probe: \(v(8)=10\) m/s. Antwort: \(43{,}2\) km/h nach \(10\) s, Beschleunigung \(1\,\mathrm{m/s^2}\), \(36\) km/h nach \(8\) s.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (6 BE/Punkte)

   a) \(G'(x)=-2x+10\) (1 P.).
   b) Notwendige Bedingung für ein Maximum: \(G'(x)=0\), also \(-2x+10=0\) und \(x=5\). Da \(G''(x)=-2\lt0\), liegt ein Hochpunkt vor (1 P.). \(G(5)=-25+50-16=9\). Bei \(500\) verkauften Pflanzen ist der Gewinn mit \(9\) Hundert Euro, also \(900\) €, am größten (1 P.).
   c) Nullstellen: \(-x^2+10x-16=0\) wird mit \(-1\) multipliziert zu \(x^2-10x+16=0\); Faktorisieren liefert \((x-2)(x-8)=0\), also \(x=2\) oder \(x=8\) (1 P.). Die Parabel ist nach unten geöffnet, daher ist \(G\) nur zwischen den Nullstellen positiv: Verlust bei weniger als \(200\) oder mehr als \(800\) Pflanzen (1 P.).
   d) \(G'(2)=-4+10=6\). Bei \(200\) Pflanzen wächst der Gewinn momentan um \(6\) Hundert Euro je hundert weitere Pflanzen, also etwa \(6\) € pro zusätzlicher Pflanze (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) Zwei unbekannte Parameter verlangen zwei Bedingungen. Der Funktionswert liefert: \(f(1)=1^2+b\cdot1+c=4\), also \(1+b+c=4\). Für die Steigung braucht man die Ableitung \(f'(x)=2x+b\); aus \(f'(1)=3\) folgt \(2+b=3\) (1 P.).
   b) Die zweite Gleichung enthält nur \(b\) und ergibt sofort \(b=1\) (1 P.). Eingesetzt in die erste: \(1+1+c=4\), also \(c=2\). Die gesuchte Parabel lautet \(f(x)=x^2+x+2\) (1 P.). Probe: \(f(1)=1+1+2=4\) und \(f'(1)=2+1=3\), beide Bedingungen sind erfüllt. Deutung: Die Parabel geht durch \(P(1|4)\) und hat dort die Tangente \(y=3x+1\). Antwort: \(b=1\), \(c=2\).

Gesamt : 20 Punkte