Exponentialfunktionen und Eulersche Zahl – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Exponentielles Wachstum

Viele Vorgänge verändern sich um denselben Faktor pro Zeitschritt: Bakterien verdoppeln sich, ein Guthaben wächst mit Zinsen, ein Medikament wird im Körper abgebaut. Solche Vorgänge beschreibt eine Exponentialfunktion \[f(x)=a\cdot b^x\quad(a\ne0,\ b>0,\ b\ne1).\] Dabei ist \(a=f(0)\) der Anfangswert und \(b\) der Wachstumsfaktor. Für \(b>1\) liegt Wachstum vor, für \(0<b<1\) Abnahme. Die Prozentrate \(p\) hängt über \(b=1+\frac{p}{100}\) mit dem Faktor zusammen: Bei \(+5\,\%\) ist \(b=1{,}05\), bei \(-12\,\%\) ist \(b=0{,}88\).

Eigenschaften der Graphen

• Der Graph von \(f(x)=b^x\) geht durch \((0\,|\,1)\) und liegt immer oberhalb der x-Achse: keine Nullstellen, Wertebereich \(]0;\infty[\).
• Die x-Achse ist waagerechte Asymptote.
• Für \(b>1\) streng monoton wachsend, für \(0<b<1\) streng monoton fallend.
• Die Graphen von \(b^x\) und \(\left(\frac1b\right)^x\) liegen spiegelbildlich zur y-Achse.

Die Abbildung zeigt \(e^x\), \(2^x\) und \(\left(\frac12\right)^x\).

Einfache Exponentialgleichungen

Lassen sich beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben, vergleichst du die Exponenten: \(2^x=32=2^5\Rightarrow x=5\). Aus \(3^x=\frac19=3^{-2}\) folgt \(x=-2\). Bei \(5\cdot2^x=40\) teilst du zuerst durch 5: \(2^x=8\), also \(x=3\).

Die Eulersche Zahl e

Unter allen Exponentialfunktionen gibt es genau eine Basis, bei der die Tangente im Punkt \((0\,|\,1)\) die Steigung 1 hat. Diese Basis ist die Eulersche Zahl \[e\approx2{,}71828\ldots\] Sie ist irrational wie \(\pi\). Die Funktion \(f(x)=e^x\) heißt natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. Ihre Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung, \[(e^x)'=e^x.\] Daraus folgt für jede Stelle: Die Steigung der Tangente ist gleich dem Funktionswert. Für \(c\cdot e^x\) gilt \((c\,e^x)'=c\,e^x\), und für die Summe \((e^x+x^2)'=e^x+2x\).

Lineare Verkettung

Für \(f(x)=e^{kx}\) mit einer Konstanten \(k\) gilt \(f'(x)=k\,e^{kx}\) (der Faktor \(k\) kommt aus der Verkettung mit \(kx\)). Beispiele: \((e^{2x})'=2e^{2x}\), \((e^{-x})'=-e^{-x}\), \((3e^{0{,}5x})'=1{,}5\,e^{0{,}5x}\). Die allgemeine Kettenregel lernst du später.

Der natürliche Logarithmus

Die Gleichung \(e^x=a\) mit \(a>0\) löst du mit dem natürlichen Logarithmus: \(x=\ln a\). Er ist die Umkehrung der e-Funktion: \(\ln(e^x)=x\) und \(e^{\ln a}=a\). Beispiel: \(e^x=5\Rightarrow x=\ln5\approx1{,}609\). Für \(e^{2x}=7\) ist \(2x=\ln7\), also \(x=\frac{\ln7}{2}\approx0{,}973\). Für allgemeine Basen gilt \(b^x=a\Rightarrow x=\frac{\ln a}{\ln b}\).

Wachstumsprozesse

Ein Bestand mit stetigem Wachstum wird durch \(N(t)=N_0\cdot e^{kt}\) beschrieben. Für \(k>0\) wächst er, für \(k<0\) nimmt er ab. Die Verdopplungszeit \(T\) erfüllt \(e^{kT}=2\), also \(T=\frac{\ln2}{k}\). Beispiel: \(N(t)=200e^{0{,}03t}\). Dann ist \(N(10)=200e^{0{,}3}\approx270\) und \(T=\frac{\ln2}{0{,}03}\approx23{,}1\). Bei Abnahme heißt die entsprechende Größe Halbwertszeit: \(m(t)=m_0\cdot0{,}5^{t/T_H}\).

Beispiel (Abkühlung). Ein Getränk hat die Temperatur \(T(t)=20+60e^{-0{,}1t}\) (in °C, \(t\) in Minuten). Anfangs gilt \(T(0)=80\). Nach 10 Minuten ist \(T(10)=20+60e^{-1}\approx42{,}1\). Auf lange Sicht nähert sich die Temperatur der Raumtemperatur 20 °C.

Exponentielles, lineares und quadratisches Wachstum

Beim linearen Wachstum kommt pro Zeitschritt immer dieselbe Zahl dazu, beim exponentiellen Wachstum dagegen immer derselbe Faktor. Deshalb wächst eine Exponentialfunktion auf lange Sicht schneller als jede Potenzfunktion. Das siehst du an der Tabelle von \(2^x\) und \(x^2\): Bei \(x=2\) und \(x=4\) sind die Werte gleich, ab \(x=5\) liegt \(2^x\) vorn und der Abstand wächst immer weiter. Erkennen kannst du exponentielles Wachstum in Wertetabellen daran, dass der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant ist: \(\frac{f(x+1)}{f(x)}=b\).

Zinseszins als Beispiel

Ein Guthaben \(K_0\) wächst bei jährlichem Zinssatz \(p\,\%\) nach \(n\) Jahren auf \(K_n=K_0\cdot\left(1+\frac p{100}\right)^n\). Bei 1000 € und 3 % sind das nach 10 Jahren etwa 1343,92 €. Die Zinsen werden selbst wieder verzinst, deshalb spricht man vom Zinseszins. Eine Verdopplung dauert bei 3 % etwa \(\frac{\ln2}{\ln1{,}03}\approx23{,}4\) Jahre.

Häufige Fehler

• \(b\) mit der Prozentrate verwechseln: Aus \(+5\,\%\) wird \(b=1{,}05\), nicht \(0{,}05\).
• \(e^{x}\) mit \(x^e\) oder mit \(x\cdot e^{x-1}\) ableiten wollen: \((e^x)'=e^x\), die Potenzregel gilt hier nicht.
• Den Faktor \(k\) bei \((e^{kx})'\) vergessen.
• Den Logarithmus auf Summen anwenden: \(\ln(a+b)\ne\ln a+\ln b\).
• Den Taschenrechner im falschen Modus benutzen; \(e^x\) und \(\ln\) sind eigene Tasten.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Schreibe bei Wachstumsaufgaben zuerst den Anfangswert und den Faktor auf, bevor du rechnest. Mache dann immer eine Plausibilitätsprobe: Wächst der Bestand, muss das Ergebnis größer als der Anfangswert sein. Bei Abnahme muss es kleiner sein. So erkennst du Vorzeichenfehler im Exponenten sofort.

Zusammenfassung

Exponentialfunktionen \(a\cdot b^x\) beschreiben Wachstum und Abnahme mit konstantem Faktor. Die Zahl \(e\) ist die Basis, bei der \(f'=f\) gilt. Mit \(\ln\) löst du Gleichungen der Form \(e^x=a\). Diese Funktionen begleiten dich in der Oberstufe bei Wachstumsmodellen, Zerfallsprozessen und später bei der Integralrechnung. Prüfe bei jeder Aufgabe, ob ein Prozentwert als Faktor eingesetzt werden muss, ob die Zeit in der richtigen Einheit angegeben ist und ob dein Ergebnis zur Sachsituation passt. Notiere zum Schluss einen Antwortsatz mit Einheit, damit die Lehrkraft dein Ergebnis sofort versteht und bewerten kann.