Extrem- und Wendepunkte, Kurvendiskussion – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Monotonie und Ableitung

Die erste Ableitung verrät, wie sich der Graph verhält: Gilt \(f'(x)>0\) in einem Intervall, ist \(f\) dort streng monoton wachsend. Gilt \(f'(x)<0\), ist \(f\) streng monoton fallend. Für \(f(x)=x^3-3x\) ist \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Es ist \(f'>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), und \(f'<0\) für \(-1<x<1\).

Extrempunkte

Ein Hochpunkt \(H\) ist ein lokal höchster Punkt, ein Tiefpunkt \(T\) ein lokal tiefster Punkt des Graphen. Beide heißen Extrempunkte.

Notwendige Bedingung: Hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein Extremum, dann gilt \(f'(x_0)=0\) (waagerechte Tangente).

Hinreichende Bedingungen:

• Mit der zweiten Ableitung: Ist \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\), liegt ein Hochpunkt vor. Ist \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\), liegt ein Tiefpunkt vor.
• Mit dem Vorzeichenwechsel von \(f'\): Wechselt \(f'\) bei \(x_0\) von \(+\) nach \(-\), liegt ein Hochpunkt vor, bei Wechsel von \(-\) nach \(+\) ein Tiefpunkt. Dieses Kriterium funktioniert auch, wenn \(f''(x_0)=0\) ist.

Ist \(f'(x_0)=0\) ohne Vorzeichenwechsel, liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor, zum Beispiel bei \(f(x)=x^3\) im Ursprung.

Krümmung und Wendepunkte

Gilt \(f''(x)>0\), ist der Graph linksgekrümmt (wie eine Schale nach oben). Gilt \(f''(x)<0\), ist er rechtsgekrümmt. Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich die Krümmung ändert. Notwendig ist \(f''(x_0)=0\). Hinreichend ist \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)\ne0\) (oder ein Vorzeichenwechsel von \(f''\)). Ein Wendepunkt mit \(f'(x_0)=0\) ist ein Sattelpunkt. Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente.

Beispiel: vollständige Untersuchung

Untersuche \(f(x)=x^3-3x\).

1. Symmetrie: nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung.
2. Nullstellen: \(x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0\), \(x=\pm\sqrt3\).
3. Verhalten: Grad 3, \(a_3>0\): für \(x\to\infty\) gilt \(f\to\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f\to-\infty\).
4. Ableitungen: \(f'(x)=3x^2-3\), \(f''(x)=6x\), \(f'''(x)=6\).
5. Extrema: \(f'(x)=0\Rightarrow x=\pm1\). \(f''(-1)=-6<0\), also Hochpunkt \(H(-1\,|\,2)\). \(f''(1)=6>0\), also Tiefpunkt \(T(1\,|\,-2)\).
6. Wendepunkte: \(f''(x)=6x=0\Rightarrow x=0\). \(f'''(0)=6\ne0\), also Wendepunkt \(W(0\,|\,0)\). Für \(x<0\) ist der Graph rechtsgekrümmt, für \(x>0\) linksgekrümmt.
7. Skizze: Alle Punkte eintragen und verbinden.

Die Abbildung zeigt den Graphen mit Hochpunkt \(H\), Tiefpunkt \(T\) und Wendepunkt \(W\).

Beispiel: Vorzeichenwechsel statt zweiter Ableitung

Bei \(f(x)=x^4-4x^3\) gilt \(f'(x)=4x^2(x-3)\). Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=0\) und \(x=3\). Für \(x=0\) ist \(f''(0)=0\), das Kriterium mit der zweiten Ableitung hilft nicht. Wegen \(x^2\ge0\) wechselt \(f'\) bei \(x=0\) das Vorzeichen nicht (links und rechts negativ): Es liegt ein Sattelpunkt \((0\,|\,0)\) vor. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt \(T(3\,|\,-27)\). Merke dir: Wenn \(f''(x_0)=0\) ist, entscheidet der Vorzeichenwechsel von \(f'\).

Beispiel: Extremwertaufgabe

Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Welche Seitenlängen ergeben den größten Flächeninhalt? Mit der Seitenlänge \(x\) ist die andere Seite \(10-x\). Zielfunktion: \(A(x)=x(10-x)=10x-x^2\). Ableitung \(A'(x)=10-2x=0\Rightarrow x=5\). Wegen \(A''(x)=-2<0\) liegt ein Maximum vor. Das Quadrat mit Seitenlänge 5 m hat den größten Flächeninhalt \(A=25\,\text{m}^2\).

Wertetabelle und Skizze

Eine saubere Skizze entsteht aus wenigen, genau berechneten Punkten: Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und gegebenenfalls ein bis zwei Hilfspunkte. Zeichne zuerst diese Punkte ein, trage dann die Steigung als kleine Tangentenstriche an den Extrem- und Wendepunkten ein und verbinde alles mit einer glatten Kurve. Achte auf das Verhalten für große \(|x|\): Der Graph muss am Rand zu Grad und Leitkoeffizient passen. Eine Skizze ist kein exakter Plot, aber sie muss alle berechneten Eigenschaften zeigen und darf ihnen nicht widersprechen.

Randextrema

Ist die Funktion nur auf einem Intervall \([a;b]\) betrachtet, können größte und kleinste Werte auch am Rand liegen. Vergleiche deshalb immer die Funktionswerte an den Randstellen mit denen der Extrempunkte.

Häufige Fehler

• Nur \(f'(x)=0\) lösen und vergessen, den y-Wert des Punktes zu berechnen.
• Den Fall \(f''(x_0)=0\) automatisch als Wendepunkt oder Sattelpunkt deuten, ohne weiter zu prüfen.
• Wendepunkt mit Extrempunkt verwechseln: Extrema aus \(f'=0\), Wendepunkte aus \(f''=0\).
• In Sachaufgaben die Randwerte und die Antwort mit Einheit vergessen.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Überlege dir vor dem Rechnen, ob dein Ergebnis zur Skizze passt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel kann es nur einen Tiefpunkt geben. Schreibe außerdem alle Zwischenergebnisse in eine Tabelle: Stelle, \(f\), \(f'\), \(f''\). So behältst du in der Klausur den Überblick.

Zusammenfassung

Extremstellen findest du mit \(f'(x)=0\) und prüfst sie mit \(f''\) oder mit dem Vorzeichenwechsel von \(f'\). Wendestellen findest du mit \(f''(x)=0\) und prüfst sie mit \(f'''\). Aus allen Ergebnissen entsteht die Skizze des Graphen. Diese Schritte nennt man Kurvendiskussion oder Funktionsuntersuchung. Sie sind in jeder Oberstufen-Klausur ein fester Bestandteil.

Kurvendiskussion bei gebrochenen Zahlen

Auch wenn Brüche oder Wurzeln als Koordinaten auftreten, bleibt das Vorgehen gleich. Bei \(f(x)=x^4-2x^2\) sind die Wendestellen \(x=\pm\frac{\sqrt3}{3}\) mit dem Funktionswert \(-\frac59\). Rechne dann lieber exakt mit Brüchen und Wurzeln und runde nur zum Zeichnen. Die Tabelle mit den Werten \(f\), \(f'\) und \(f''\) für jede wichtige Stelle verhindert Verwechslungen.