Trigonometrische Funktionen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Bogenmaß

In der Analysis misst man Winkel im Bogenmaß. Der Winkel \(x\) entspricht der Länge des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis (Radius 1). Der Vollwinkel \(360^\circ\) hat die Bogenlänge \(2\pi\). Umrechnung: \(x=\frac{\alpha}{180^\circ}\cdot\pi\). Wichtige Werte: \(30^\circ=\frac\pi6\), \(45^\circ=\frac\pi4\), \(60^\circ=\frac\pi3\), \(90^\circ=\frac\pi2\), \(180^\circ=\pi\), \(270^\circ=\frac{3\pi}2\), \(360^\circ=2\pi\). Der Taschenrechner muss auf RAD stehen, wenn du mit Bogenmaß rechnest.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Am Einheitskreis gehört zum Winkel \(x\) der Punkt \(P(\cos x\,|\,\sin x)\). Der Kosinus ist die x-Koordinate, der Sinus die y-Koordinate. Daraus folgen \(-1\le\sin x\le1\), \(-1\le\cos x\le1\) und \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

Graphen und Eigenschaften

• Beide Funktionen haben den Definitionsbereich \(\mathbb{R}\), den Wertebereich \([-1;1]\) und die Periode \(2\pi\): \(\sin(x+2\pi)=\sin x\).
• \(\sin\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (\(\sin(-x)=-\sin x\)), \(\cos\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (\(\cos(-x)=\cos x\)).
• Nullstellen von \(\sin\): \(x=k\pi\) mit ganzem \(k\). Nullstellen von \(\cos\): \(x=\frac\pi2+k\pi\).
• Der Graph von \(\cos\) entsteht aus dem von \(\sin\) durch Verschiebung um \(\frac\pi2\) nach links: \(\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)\).

Allgemeine Sinusfunktion

Die Funktion \(f(x)=a\cdot\sin\big(b(x-c)\big)+d\) hat die Amplitude \(|a|\), die Periode \(\frac{2\pi}{|b|}\), die Verschiebung \(c\) nach rechts und die Mittellinie \(y=d\). Der Wertebereich ist \([d-|a|;\,d+|a|]\). Beispiel: \(f(x)=2\sin(3x)+1\) hat die Amplitude 2, die Periode \(\frac{2\pi}3\), die Mittellinie \(y=1\) und den Wertebereich \([-1;3]\).

Ableitungen

Es gilt \((\sin x)'=\cos x\) und \((\cos x)'=-\sin x\). Mit der Verkettung durch \(kx\) gilt \((\sin(kx))'=k\cos(kx)\) und \((\cos(kx))'=-k\sin(kx)\). Beispiele: \((3\sin x)'=3\cos x\), \((\cos x+x^2)'=-\sin x+2x\), \((\sin2x)'=2\cos2x\), \((4\sin\frac x2)'=2\cos\frac x2\). Die Ableitung von \(\sin\) bei \(x=0\) ist \(\cos0=1\). Die Tangente an \(\sin x\) im Ursprung ist also \(y=x\).

Parameter aus dem Graphen bestimmen

Ist ein Graph gegeben, liest du die Parameter in dieser Reihenfolge ab. Erstens: Hoch- und Tiefpunkt bestimmen die Mittellinie \(d=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}\) und die Amplitude \(a=\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}\). Zweitens: Der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte ist die Periode \(p\), daraus folgt \(b=\frac{2\pi}{p}\). Drittens: Eine Verschiebung \(c\) liest du am ersten Schnittpunkt mit der Mittellinie ab, an dem der Graph steigt. Prüfe zum Schluss mit einem Punkt, ob deine Gleichung stimmt. Genau dieses Vorgehen wird in Klausuren häufig verlangt, weil es Verständnis statt Auswendiglernen prüft.

Trigonometrische Gleichungen

Beispiel: \(\sin x=\frac12\) im Intervall \([0;2\pi]\). Der Taschenrechner liefert \(x_1=\frac\pi6\). Wegen der Symmetrie am Einheitskreis gilt außerdem \(x_2=\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}6\). Für \(\cos x=-\frac12\) erhältst du \(x_1=\frac{2\pi}3\) und \(x_2=2\pi-\frac{2\pi}3=\frac{4\pi}3\). Allgemein: Zu \(\sin x=s\) gehören \(x\) und \(\pi-x\), zu \(\cos x=s\) gehören \(x\) und \(2\pi-x\) (jeweils plus Vielfache von \(2\pi\)).

Beispiel aus dem Alltag

Die Tagestemperatur wird oft durch \(T(t)=10+8\sin\left(\frac\pi{12}(t-9)\right)\) beschrieben (\(t\) in Stunden). Die Periode ist \(\frac{2\pi}{\pi/12}=24\) Stunden. Das Maximum \(10+8=18\) °C tritt auf, wenn das Argument \(\frac\pi2\) ist, also bei \(t=15\). Das Minimum \(2\) °C tritt bei \(t=3\) auf.

Zusammenhang mit dem rechtwinkligen Dreieck

Du kennst Sinus und Kosinus bereits aus der Mittelstufe: Im rechtwinkligen Dreieck ist \(\sin\alpha\) das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse, \(\cos\alpha\) das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse. Der Einheitskreis erweitert diese Idee auf beliebige Winkel, auch auf Winkel über \(90^\circ\) und negative Winkel. Bei einem Winkel von \(30^\circ\) im Dreieck mit Hypotenuse 10 beträgt die Gegenkathete \(10\cdot\sin30^\circ=5\). Dasselbe Ergebnis erhältst du im Bogenmaß mit \(\sin\frac\pi6=\frac12\).

Häufige Fehler

• Taschenrechner im Gradmodus, obwohl im Bogenmaß gerechnet wird.
• Bei \(\sin x=s\) nur eine Lösung angeben; es gibt in \([0;2\pi]\) meist zwei.
• \((\cos x)'=\sin x\) schreiben: Das Vorzeichen ist negativ.
• Periode bei \(\sin(bx)\) als \(2\pi\cdot b\) berechnen; richtig ist \(\frac{2\pi}{b}\).
• \(\sin^2x\) mit \(\sin(x^2)\) verwechseln.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Zeichne bei Gleichungen immer kurz den Einheitskreis oder die Sinuskurve. Dann siehst du sofort, wie viele Lösungen es im Intervall gibt. Lerne außerdem die Tabelle der Spezialwerte auswendig, denn in Klausuren ohne Taschenrechner kommen genau diese Werte vor.

Zusammenfassung

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit Wertebereich \([-1;1]\). Parameter \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) verändern Amplitude, Periode und Lage. Die Ableitungen sind \((\sin x)'=\cos x\) und \((\cos x)'=-\sin x\). Mit dem Einheitskreis findest du Gleichungslösungen und erkennst Symmetrien. Damit kannst du Schwingungen, Gezeiten und Temperaturverläufe mathematisch beschreiben und sinnvoll interpretieren.

Weiteres Beispiel: Extrempunkte

Für \(f(x)=\sin x\) im Intervall \([0;2\pi]\) gilt \(f'(x)=\cos x=0\) bei \(x=\frac\pi2\) und \(x=\frac{3\pi}2\). Wegen \(f''(x)=-\sin x\) ist \(f''(\frac\pi2)=-1<0\), also liegt bei \(\left(\frac\pi2\,|\,1\right)\) ein Hochpunkt vor, und \(f''(\frac{3\pi}2)=1>0\) liefert den Tiefpunkt \(\left(\frac{3\pi}2\,|\,-1\right)\). Die Wendepunkte liegen bei den Nullstellen \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\), denn dort ist \(f''=-\sin x=0\).