Ganzrationale Funktionen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Was sind ganzrationale Funktionen?

Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) vom Grad \(n\) hat die Form \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\ne0\). Die Zahlen \(a_i\) heißen Koeffizienten, \(a_n\) ist der Leitkoeffizient, \(a_0=f(0)\) das Absolutglied und der y-Achsenabschnitt. Lineare und quadratische Funktionen sind Spezialfälle. Der Definitionsbereich ist ganz \(\mathbb{R}\), der Graph ist ohne Sprünge und Knicke gezeichnet.

Verhalten im Unendlichen

Für sehr große \(|x|\) bestimmt allein der Term mit der höchsten Potenz das Verhalten. Es kommt auf den Grad \(n\) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten \(a_n\) an:

Beispiel: \(f(x)=-2x^3+x\) hat Grad 3 und Leitkoeffizient \(-2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\).

Nullstellen bestimmen

Ausklammern: \(x^3-3x^2=x^2(x-3)\) hat die Nullstellen \(x=0\) (doppelt) und \(x=3\).

Substitution bei Funktionen mit nur geraden Exponenten (biquadratische Gleichung): \(x^4-5x^2+4=0\). Setze \(z=x^2\): \(z^2-5z+4=0\), also \(z_1=1\) und \(z_2=4\). Rücksubstitution: \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\). Ergibt sich für \(z\) ein negativer Wert, gibt es dazu keine reelle Lösung.

Polynomdivision bei Grad 3 und höher: Rate eine Nullstelle \(x_1\) (probiere Teiler des Absolutglieds), dividiere durch \((x-x_1)\) und löse die verbleibende quadratische Gleichung.

Linearfaktorzerlegung und Vielfachheit

Hat \(f\) die Nullstellen \(x_1,\dots,x_k\), so gilt \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_k)\). Kommt ein Faktor \((x-x_0)^m\) vor, heißt \(x_0\) m-fache Nullstelle. Bei geradem \(m\) berührt der Graph die x-Achse nur (kein Vorzeichenwechsel), bei ungeradem \(m\) schneidet er sie (Vorzeichenwechsel). Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen.

Symmetrie

Treten nur gerade Exponenten auf, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, treten nur ungerade Exponenten auf (ohne Absolutglied), ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel: Polynomdivision Schritt für Schritt

Gegeben ist \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\). Das Absolutglied 6 hat die Teiler \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Probe: \(f(1)=1-2-5+6=0\), also ist \(x_1=1\) eine Nullstelle. Division: \((x^3-2x^2-5x+6):(x-1)=x^2-x-6\). Rechnung: \(x^3:x=x^2\); \(x^2(x-1)=x^3-x^2\); Rest \(-x^2-5x\); \(-x^2:x=-x\); \(-x(x-1)=-x^2+x\); Rest \(-6x+6\); \(-6x:x=-6\); \(-6(x-1)=-6x+6\); Rest 0. Aus \(x^2-x-6=0\) folgt \(x=3\) oder \(x=-2\). Also \(f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)\).

Der Graph schneidet die x-Achse bei \(-2\), \(1\) und \(3\) und die y-Achse bei \(6\). Er kommt von links unten und geht nach rechts oben, passend zu Grad 3 und \(a_3=1>0\).

Beispiel: Funktionsgleichung aufstellen

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit den Nullstellen \(-1\), \(2\), \(3\), die durch \(P(0\,|\,12)\) geht. Ansatz \(f(x)=a(x+1)(x-2)(x-3)\). Aus \(f(0)=a\cdot1\cdot(-2)\cdot(-3)=6a=12\) folgt \(a=2\). Ausmultipliziert \(f(x)=2x^3-8x^2+2x+12\).

Warum ist das wichtig?

Ganzrationale Funktionen sind die Funktionen, mit denen du in der Oberstufe am häufigsten rechnest. Sie lassen sich leicht ableiten und integrieren, und mit ihnen modellierst du viele Vorgänge: Gewinnfunktionen, Brückenbögen, Volumina von Verpackungen oder Wege von Körpern. Wer Nullstellen sicher bestimmen kann, hat die halbe Kurvendiskussion bereits geschafft, denn Nullstellen teilen den Graphen in Abschnitte, in denen der Funktionswert ein festes Vorzeichen hat.

Beispiel (Vorzeichen zwischen Nullstellen). Für \(f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)\) liegen die Nullstellen bei \(-2\), \(1\) und \(3\). Für sehr große \(x\) ist \(f(x)>0\). Bei jeder einfachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen: Auf \(]3;\infty[\) ist \(f>0\), auf \(]1;3[\) ist \(f<0\), auf \(]-2;1[\) ist \(f>0\) und auf \(]-\infty;-2[\) ist \(f<0\). Das passt zum Graphen oben.

Strategie für Nullstellen

Gehe immer in dieser Reihenfolge vor: Zuerst prüfst du, ob du \(x\) ausklammern kannst. Danach schaust du, ob nur gerade Exponenten auftreten und eine Substitution möglich ist. Erst dann raten und dividierst du. Bei Textaufgaben interessieren dich meist nur Lösungen im sinnvollen Definitionsbereich. Notiere deshalb am Ende immer, welche Lösungen zur Aufgabe passen und welche nicht.

Noch ein Hinweis zur Polynomdivision: Sie funktioniert nur, wenn du wirklich durch einen Linearfaktor \((x-x_1)\) mit einer echten Nullstelle teilst. Geht die Division nicht ohne Rest auf, war die geratene Zahl keine Nullstelle, und du hast dich verrechnet oder musst einen anderen Wert probieren. Fehlt im Polynom eine Potenz, schreibst du sie mit Koeffizient 0 hin, zum Beispiel \(x^3+0x^2-7x+6\), damit die Spalten in der Rechnung stimmen.

Häufige Fehler

• Bei der Substitution nach der Lösung für \(z\) die Rücksubstitution \(x=\pm\sqrt{z}\) vergessen.
• Beim Ausklammern von \(x^2\) die doppelte Nullstelle \(x=0\) übersehen.
• In der Polynomdivision Vorzeichenfehler beim Subtrahieren: Klammern setzen.
• Den Grad aus einem Produkt nicht addieren: \((x+1)(x-2)(x-3)\) hat Grad 3.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Mach nach jeder Polynomdivision die Probe, indem du \((x-x_1)\) mit dem Ergebnis wieder multiplizierst. Du musst dann genau das Ausgangspolynom erhalten. In der Klausur lohnt sich diese Kontrolle immer.