Änderungsrate und Ableitungsbegriff – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

← Zurück zur Klassenarbeit

1. Lösung zu Aufgabe 1 (3 BE/Punkte)

   a) Die mittlere Änderungsrate auf \([a;b]\) ist der Differenzenquotient \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Funktionswerte: \(f(4)=16-8=8\) und \(f(1)=1-2=-1\) (1 P.). Damit \(\frac{8-(-1)}{4-1}=\frac{9}{3}=3\) (1 P.). Vorsicht beim Minuszeichen: \(8-(-1)=9\), nicht \(7\).
   b) Geometrisch ist das die Steigung der Sekante durch die Kurvenpunkte \(P(1|-1)\) und \(Q(4|8)\). Inhaltlich bedeutet sie: Auf dem Intervall \([1;4]\) nimmt \(f\) im Durchschnitt um \(3\) Einheiten zu, wenn \(x\) um \(1\) wächst (1 P.). Über die Steigung an einzelnen Stellen sagt dieser Mittelwert nichts aus; bei \(x=1\) ist der Graph zum Beispiel waagerecht, bei \(x=4\) hat er die Steigung \(6\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(f(2)=4+6=10\). Differenzenquotient zwischen \(x_0=2\) und \(2+h\): \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2+3(2+h)-10}{h}\) (1 P.). Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel: \(\frac{4+4h+h^2+6+3h-10}{h}=\frac{7h+h^2}{h}\) (1 P.). Für \(h\ne0\) darf man durch \(h\) kürzen: \(7+h\) (1 P.).
   b) Lässt man \(h\) gegen \(0\) gehen, bleibt \(f'(2)=\lim_{h\to0}(7+h)=7\). Die Tangente durch \(P(2|10)\) mit Steigung \(7\) lautet \(y=7(x-2)+10=7x-4\) (1 P.). Kontrolle mit der Ableitungsregel: \(f'(x)=2x+3\), also \(f'(2)=7\). Das Kürzen vor dem Grenzübergang ist entscheidend, weil man \(h=0\) nicht direkt einsetzen darf.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Jeder Abschnitt dauert \(30\) min \(=0{,}5\) h. Mittlere Geschwindigkeit gleich Wegzuwachs durch Zeit. Erster Abschnitt: \(\frac{9-0}{0{,}5}=18\) km/h. Zweiter: \(\frac{21-9}{0{,}5}=24\) km/h. Dritter: \(\frac{27-21}{0{,}5}=12\) km/h (2 P.).
   b) Am schnellsten war die Fahrt zwischen \(30\) und \(60\) Minuten mit \(24\) km/h, am langsamsten in der letzten halben Stunde mit \(12\) km/h, vielleicht wegen einer Steigung oder Müdigkeit (1 P.).
   c) Gesamtstrecke \(27\) km in \(1{,}5\) h: \(\frac{27}{1{,}5}=18\) km/h (1 P.). Achtung: Im Allgemeinen ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der Mittelwert der Abschnittsgeschwindigkeiten; hier stimmt \(\frac{18+24+12}{3}=18\) nur deshalb überein, weil alle Abschnitte gleich lang dauern. Antwort: \(18\), \(24\) und \(12\) km/h; Durchschnitt \(18\) km/h.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (6 BE/Punkte)

   a) \(N(10)=3\cdot100+10\cdot10=300+100=400\). In den ersten zehn Minuten passierten \(400\) Fahrzeuge die Zählstelle (1 P.).
   b) \(N(20)=1200+200=1400\). Mittlere Änderungsrate: \(\frac{1400-400}{20-10}=\frac{1000}{10}=100\) Fahrzeuge pro Minute (2 P.). Die Einheit ergibt sich aus Fahrzeuge geteilt durch Minuten.
   c) \(\frac{N(10+h)-N(10)}{h}=\frac{3(100+20h+h^2)+100+10h-400}{h}=\frac{70h+3h^2}{h}=70+3h\). Für \(h\to0\) erhält man \(N'(10)=70\) Fahrzeuge pro Minute (1 P.).
   d) Bei \(t=10\) fließen momentan \(70\) Fahrzeuge pro Minute, im Intervall \([10;20]\) im Durchschnitt \(100\) (1 P.). Weil \(N'(t)=6t+10\) mit der Zeit wächst, ist die Rate am Anfang des Intervalls kleiner als ihr Mittelwert; es fahren immer mehr Autos pro Minute vorbei (1 P.).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   a) \(f(2)=|0|=0\). Differenzenquotient \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{|h|}{h}\). Für \(h=0{,}5\): \(\frac{0{,}5}{0{,}5}=1\). Für \(h=-0{,}5\): \(\frac{|-0{,}5|}{-0{,}5}=\frac{0{,}5}{-0{,}5}=-1\) (2 P.).
   b) Für jedes \(h\gt0\) ist \(\frac{|h|}{h}=1\), für jedes \(h\lt0\) ist \(\frac{|h|}{h}=-1\). Der rechtsseitige Grenzwert ist also \(1\), der linksseitige \(-1\). Da beide verschieden sind, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht, und \(f\) ist bei \(x_0=2\) nicht differenzierbar (1 P.). Anschaulich hat der Graph dort eine Spitze (Knick): Von links kommt eine Gerade mit Steigung \(-1\), nach rechts geht eine mit Steigung \(1\) weiter; man kann keine eindeutige Tangente anlegen. Stetig ist \(f\) bei \(2\) trotzdem.

Gesamt : 20 Punkte