Funktionen und ihre Eigenschaften – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion \(f\) ordnet jedem Wert \(x\) aus dem Definitionsbereich \(D\) genau einen Wert \(y=f(x)\) zu. Die Menge aller entstehenden Funktionswerte heißt Wertebereich \(W\). In der Einführungsphase wiederholst du die wichtigsten Funktionstypen und lernst, ihre Eigenschaften systematisch zu beschreiben. Das ist die Grundlage für die gesamte Analysis der Oberstufe.

Wichtige Funktionstypen

• Lineare Funktion \(f(x)=mx+b\): Gerade mit Steigung \(m\) und y-Achsenabschnitt \(b\).
• Quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\): Parabel. Für \(a>0\) nach oben geöffnet, für \(a<0\) nach unten.
• Potenzfunktionen \(f(x)=x^n\): Bei geradem \(n\) ähnlich wie die Normalparabel, bei ungeradem \(n\) ähnlich wie \(x^3\).
• Wurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) mit \(D=[0;\infty[\).
• Kehrwertfunktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) mit \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) und den Asymptoten \(x=0\) und \(y=0\).

Definitionsbereich bestimmen

Du musst zwei Dinge beachten: Durch null darf nicht geteilt werden, und unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Bei \(f(x)=\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge 0\) gelten, also \(D=[3;\infty[\). Bei \(g(x)=\frac{1}{x+2}\) ist \(x=-2\) verboten, also \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Nullstellen

Eine Nullstelle ist eine Stelle \(x_0\) mit \(f(x_0)=0\). Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Du löst die Gleichung \(f(x)=0\). Bei quadratischen Funktionen nutzt du Ausklammern, die Mitternachtsformel oder die Scheitelform. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt).

Symmetrie

Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\in D\) gilt. Beispiel: \(f(x)=x^4-3x^2\). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) gilt. Beispiel: \(g(x)=x^3+2x\). Bei ganzrationalen Funktionen erkennst du das schnell: Kommen nur gerade Exponenten vor, liegt Achsensymmetrie vor, kommen nur ungerade Exponenten vor, liegt Punktsymmetrie vor. Eine Funktion wie \(h(x)=x^2+x\) ist keins von beiden.

Transformationen von Graphen

Ausgehend vom Graphen von \(f\) gilt:

• \(f(x)+e\): Verschiebung um \(e\) in y-Richtung (nach oben für \(e>0\)).
• \(f(x-d)\): Verschiebung um \(d\) in x-Richtung (nach rechts für \(d>0\)).
• \(-f(x)\): Spiegelung an der x-Achse. \(f(-x)\): Spiegelung an der y-Achse.
• \(a\cdot f(x)\) mit \(a>0\): Streckung in y-Richtung um den Faktor \(a\) (für \(a>1\) steiler, für \(0<a<1\) flacher).

Die Scheitelform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) fasst alles zusammen: Der Scheitelpunkt ist \(S(d\,|\,e)\).

Beispiele

Beispiel 1 (Scheitelform). Gesucht ist die Scheitelform von \(f(x)=x^2-6x+5\). Quadratische Ergänzung: \(x^2-6x+9-9+5=(x-3)^2-4\). Scheitelpunkt \(S(3\,|\,-4)\). Nullstellen: \((x-3)^2=4\), also \(x-3=\pm2\), das heißt \(x_1=1\) und \(x_2=5\).

Beispiel 2 (Symmetrie). Untersuche \(f(x)=x^3-4x\). Es gilt \(f(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Nullstellen: \(x(x^2-4)=0\), also \(x=0\), \(x=2\) oder \(x=-2\).

Beispiel 3 (Definitionsbereich und Nullstelle). \(f(x)=\sqrt{x+4}-2\). Es muss \(x+4\ge0\) sein, also \(D=[-4;\infty[\). Aus \(\sqrt{x+4}=2\) folgt \(x+4=4\), also \(x=0\). Der Graph ist die um 4 nach links und 2 nach unten verschobene Wurzelfunktion.

Die Abbildung zeigt \(f(x)=(x-1)^2-4\): Scheitelpunkt \(S(1\,|\,-4)\), Nullstellen \(x_1=-1\) und \(x_2=3\).

Wertebereich und Monotonie

Den Wertebereich liest du am besten aus einer Skizze ab. Bei der Normalparabel \(f(x)=x^2\) gilt \(W=[0;\infty[\), bei \(f(x)=x^2+2\) gilt \(W=[2;\infty[\), weil der Scheitelpunkt \(S(0\,|\,2)\) der tiefste Punkt ist. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt, und der Wertebereich ist nach oben beschränkt. Eine Funktion heißt streng monoton wachsend, wenn mit größer werdendem \(x\) auch die Funktionswerte immer größer werden. Die Normalparabel fällt für \(x<0\) und steigt für \(x>0\).

Funktionen im Alltag

Funktionen beschreiben Zusammenhänge: Der Preis eines Handytarifs hängt von den Minuten ab, die Höhe eines geworfenen Balls von der Zeit, der Bremsweg von der Geschwindigkeit. Wichtig ist, dass du die Variablen sinnvoll benennst und den Definitionsbereich an die Situation anpasst. Negative Zeiten oder negative Minuten ergeben im Sachzusammenhang keinen Sinn. Bei einer Wurfparabel interessiert dich nur der Bereich zwischen Abwurf und Landung, also zwischen den beiden Nullstellen.

Beispiel 4 (Sachaufgabe). Ein Stein wird geworfen, seine Höhe ist \(h(t)=-5t^2+10t+15\) in Metern. Die Landung erfolgt bei \(h(t)=0\): \(-5(t^2-2t-3)=0\), also \((t-3)(t+1)=0\). Nur \(t=3\) ist sinnvoll, denn \(t=-1\) liegt vor dem Abwurf. Der Stein landet nach 3 Sekunden. Die Scheitelform \(h(t)=-5(t-1)^2+20\) zeigt: Die größte Höhe von 20 m wird nach 1 Sekunde erreicht.

Vorgehen bei Aufgaben

Lies die Aufgabe genau und markiere, was gegeben und was gesucht ist. Prüfe zuerst den Definitionsbereich. Dann berechne Nullstellen und den y-Achsenabschnitt \(f(0)\), untersuche die Symmetrie und skizziere den Graphen. Zum Schluss schreibst du einen Antwortsatz mit Einheit. So bekommst du in der Klausur auch bei einem Rechenfehler noch viele Punkte für das richtige Vorgehen.

Häufige Fehler

• \(f(x-3)\) verschiebt nach rechts, nicht nach links.
• Beim Einsetzen negativer Zahlen Klammern setzen: \(f(-2)=(-2)^2\), nicht \(-2^2\).
• Beim Wurzelziehen beide Lösungen \(\pm\) nicht vergessen.
• Symmetrie nicht nur an einem Wert testen, sondern für allgemeines \(x\) nachrechnen.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Skizziere zuerst Scheitelpunkt und Nullstellen und prüfe dann, ob dein Graph zu den Rechenergebnissen passt. Eine kleine Skizze deckt viele Rechenfehler auf, bevor es die Lehrkraft in der Klausur tut.