Änderungsrate und Ableitungsbegriff – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Mittlere Änderungsrate

Wie stark ändert sich eine Größe in einem Intervall? Für eine Funktion \(f\) und ein Intervall \([a;b]\) heißt \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] die mittlere Änderungsrate oder der Differenzenquotient. Geometrisch ist das die Steigung der Sekante durch die Punkte \((a\,|\,f(a))\) und \((b\,|\,f(b))\). Im Sachzusammenhang ist es eine Durchschnittsgeschwindigkeit, ein durchschnittlicher Zuwachs oder eine durchschnittliche Temperaturänderung pro Zeiteinheit.

Beispiel. Ein Fahrzeug legt in der Zeit \(t\) (in s) den Weg \(s(t)=5t^2\) (in m) zurück. Im Intervall \([1;3]\) gilt \(\frac{s(3)-s(1)}{3-1}=\frac{45-5}{2}=20\). Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

Momentane Änderungsrate und Ableitung

Bei einem Tacho interessiert dich nicht die Durchschnitts-, sondern die momentane Geschwindigkeit. Dafür lässt man das Intervall immer kleiner werden. Mit \(b=x_0+h\) betrachtest du den Differenzenquotienten \[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\] und lässt \(h\) gegen null gehen. Strebt dieser Wert gegen eine feste Zahl, so heißt sie momentane Änderungsrate oder Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\), geschrieben \(f'(x_0)\). Man sagt, \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) differenzierbar. Geometrisch ist \(f'(x_0)\) die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0\,|\,f(x_0))\).

Ordnet man jeder Stelle \(x\) die Ableitung \(f'(x)\) zu, entsteht die Ableitungsfunktion \(f'\).

Die h-Methode

Zur Berechnung von \(f'(x_0)\) gehst du so vor: Differenzenquotient aufschreiben, Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen, durch \(h\) kürzen und erst dann \(h\to0\) gehen lassen.

Beispiel 1. \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(x_0=2\): \[\frac{(2+h)^2-4}{h}=\frac{4+4h+h^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h\ \xrightarrow{h\to0}\ 4.\] Also \(f'(2)=4\). Für \(h=1\) ist der Wert 5, für \(h=0{,}1\) ist er \(4{,}1\), für \(h=0{,}01\) ist er \(4{,}01\). Der Wert nähert sich der 4.

Beispiel 2. Allgemein für \(f(x)=x^2\) an einer Stelle \(x_0\): \(\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=2x_0+h\to2x_0\). Also gilt \(f'(x)=2x\).

Beispiel 3. \(f(x)=x^3\) bei \(x_0=1\): \(\frac{(1+h)^3-1}{h}=\frac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2\to3\). Also \(f'(1)=3\).

Die Abbildung zeigt \(f(x)=x^2\), die Sekante durch \(P(1\,|\,1)\) und \(Q(3\,|\,9)\) mit Steigung \(\frac{9-1}{3-1}=4\) und die Tangente in \(P\) mit Steigung \(f'(1)=2\). Schiebt man \(Q\) näher an \(P\), dreht sich die Sekante in die Tangente.

Interpretation im Sachzusammenhang

Ist \(s(t)\) der zurückgelegte Weg, so ist \(s'(t)\) die Momentangeschwindigkeit. Ist \(V(t)\) das Volumen in einem Becken, so ist \(V'(t)\) die momentane Zuflussrate. Die Einheit der Änderungsrate ist immer „Einheit der Funktionswerte pro Einheit von \(x\)“, zum Beispiel Meter pro Sekunde oder Liter pro Minute. Ein positiver Wert bedeutet Wachstum, ein negativer Wert Abnahme, und \(f'(x_0)=0\) bedeutet eine waagerechte Tangente.

Beispiel 4. Für \(f(x)=-x^2+4x\) gilt an der Stelle \(x_0=2\): \(\frac{-(2+h)^2+4(2+h)-4}{h}=\frac{-h^2}{h}=-h\to0\). Bei \(x=2\) liegt der Scheitelpunkt, die Tangente verläuft waagerecht.

Ablesen aus Graphen und Tabellen

Oft ist keine Funktionsgleichung gegeben, sondern nur ein Graph oder eine Wertetabelle. Dann berechnest du die mittlere Änderungsrate direkt aus zwei Wertepaaren. Die momentane Änderungsrate schätzt du, indem du an den Graphen im gewünschten Punkt eine Tangente anlegst und ein Steigungsdreieck zeichnest: Du gehst eine Einheit nach rechts und liest ab, um wie viele Einheiten die Tangente steigt oder fällt. Bei Messwerten verwendest du ein möglichst kleines Intervall um die gesuchte Stelle, denn dann ist die mittlere Änderungsrate eine gute Näherung für die momentane.

Beispiel 5. Eine Pflanze hat nach 2, 4 und 6 Wochen die Höhen 10 cm, 18 cm und 22 cm. In den ersten beiden Wochen wächst sie im Mittel \(\frac{18-10}{4-2}=4\) cm pro Woche, danach nur noch \(\frac{22-18}{6-4}=2\) cm pro Woche. Das Wachstum verlangsamt sich, die Steigung des Graphen wird kleiner.

Wichtige Zusammenhänge

• Sekantensteigung = mittlere Änderungsrate, Tangentensteigung = momentane Änderungsrate.
• Für lineare Funktionen \(f(x)=mx+b\) ist die Änderungsrate überall \(m\).
• Die Ableitung ist der Grenzwert der Sekantensteigungen für \(h\to0\).

Häufige Fehler

• \(h\) schon vor dem Kürzen null setzen: Dann steht im Nenner 0. Erst kürzen, dann \(h\to0\).
• Beim Ausmultiplizieren von \((x_0+h)^2\) den Mittelterm \(2x_0h\) vergessen.
• Mittlere und momentane Änderungsrate verwechseln.
• Die Einheit im Antwortsatz weglassen.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Rechne zuerst einige Differenzenquotienten mit \(h=1\), \(h=0{,}1\) und \(h=0{,}01\) aus. Du erkennst dann den Grenzwert, noch bevor du die Rechnung allgemein durchführst, und kannst dein Ergebnis kontrollieren.

Grenzwertidee

Der Grenzwert ist keine Zauberei: Du setzt \(h\) nicht wirklich gleich null, sondern fragst, welcher feste Wert sich einstellt, wenn \(h\) beliebig klein wird. Im Beispiel \(4+h\) kommt der Wert der Zahl 4 beliebig nahe, ohne dass \(h\) jemals exakt null sein muss. Diese Denkweise bildet die Grundlage für die gesamte Analysis.

Merksatz

Die Ableitung \(f'(x_0)\) beschreibt, wie schnell sich \(f\) an der Stelle \(x_0\) gerade ändert. Mit dieser Idee beginnt die Differentialrechnung, die in den folgenden Kapiteln zu praktischen Regeln führt, mit denen du Ableitungen ohne Grenzwertrechnung bestimmen kannst.