Ableitungsregeln – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Nach der Potenzregel wandert der Exponent \(7\) als Faktor nach vorne, der neue Exponent ist \(7-1=6\). Also \(f\,'(x)=7x^{6}\).
   b) Der konstante Faktor \(5\) bleibt nach der Faktorregel stehen und wird mit dem Exponenten multipliziert: \(g\,'(x)=5\cdot4x^3=20x^{3}\).
   c) Ebenso: \(h\,'(x)=-2\cdot3x^2=-6x^{2}\). Das Vorzeichen bleibt erhalten.
   d) \(k(x)=x=x^1\), also \(k\,'(x)=1\cdot x^0=1\). Die Gerade \(y=x\) hat überall die Steigung \(1\).
   e) \(m(x)=9\) ist konstant und ändert sich nie, deshalb ist \(m\,'(x)=0\). Der Graph ist eine waagerechte Gerade.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) Nach der Summenregel wird jeder Summand einzeln abgeleitet: \((x^3)'=3x^2\), \((-4x^2)'=-8x\), \((7x)'=7\), \((-2)'=0\). Also \(f\,'(x)=3x^{2}-8x+7\).
   b) \(\left(\frac12x^4\right)'=\frac12\cdot4x^3=2x^3\) und \((6x^2)'=12x\). Also \(g\,'(x)=2x^3+12x\).
   c) Summandenweise: \(-5x^4\), \(+9x^2\), \(-1\). Also \(h\,'(x)=-5x^{4}+9x^{2}-1\).
   d) \(0{,}2\cdot3=0{,}6\) und \(1{,}5\cdot2=3\); die Konstante \(4\) fällt beim Ableiten weg. Also \(k\,'(x)=0{,}6x^2-3x\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) Umschreiben: \(f(x)=x^{-1}\). Potenzregel: \(f\,'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\).
   b) \(g(x)=3x^{-2}\), also \(g\,'(x)=3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}\).
   c) \(h(x)=x^{1/2}\), also \(h\,'(x)=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) für \(x>0\).
   d) \(k(x)=4x^{1/2}\), also \(k\,'(x)=4\cdot\frac12x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}\).
   e) \(m(x)=2x^{-3}+x\), also \(m\,'(x)=-6x^{-4}+1=-\frac{6}{x^4}+1\).
   Merke: Die Potenzregel gilt für alle reellen Exponenten, also auch für negative und gebrochene. Wichtig ist nur, vorher konsequent in Potenzschreibweise umzuformen.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) Mit der binomischen Formel: \(f(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4\). Summandenweise abgeleitet: \(f\,'(x)=2x+4\).
   b) Ausmultiplizieren: \(g(x)=x^2-4x\). Dann \(g\,'(x)=2x-4\).
   c) \((2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3\). Also \(h\,'(x)=4x+5\).
   d) Erst die dritte binomische Formel: \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Dann \((x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\). Also \(k\,'(x)=3x^{2}+4x-1\).
   Achtung: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Bei \(g\) wäre \(1\cdot1=1\) falsch.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(f\,'(x)=4x^3-6x^2\). Noch einmal ableiten: \(f''(x)=12x^{2}-12x\). Und noch einmal: \(f'''(x)=24x-12\).
   b) \(g\,'(x)=x^2+2x-5\), \(g''(x)=2x+2\), \(g'''(x)=2\). Ab der vierten Ableitung ist alles \(0\).
   c) \(h\,'(x)=10x^4\), \(h''(x)=40x^3\), \(h'''(x)=120x^2\).
   Bei jeder Ableitung sinkt der Grad einer ganzrationalen Funktion um \(1\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) Zuerst die Ableitung: \(f\,'(x)=3x^2-6x+2\). Dann \(f\,'(0)=2>0\): Der Graph steigt bei \(x_0=0\) mit Steigung \(2\).
   b) \(f\,'(1)=3-6+2=-1<0\): Der Graph fällt bei \(x_0=1\).
   c) \(f\,'(2)=12-12+2=2>0\): Der Graph steigt bei \(x_0=2\).
   d) \(f\,'(-1)=3+6+2=11>0\): Der Graph steigt bei \(x_0=-1\) sogar sehr steil.
   Das Vorzeichen von \(f\,'(x_0)\) entscheidet: positiv heißt steigend, negativ heißt fallend.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Starthöhe: \(h(0)=20\) m. Nach vier Minuten: \(h(4)=-\frac12\cdot16+24+20=-8+24+20=36\) m.
   b) \(h\,'(t)=-t+6\). \(h\,'(2)=4\): Nach zwei Minuten steigt der Ballon momentan mit \(4\) Metern pro Minute.
   c) Waagerechte Tangente bei \(h\,'(t)=0\): \(-t+6=0\Rightarrow t=6\). Dann ist \(h(6)=-18+36+20=38\) m. Der Ballon steigt nach \(6\) Minuten nicht mehr und erreicht seine größte Höhe von \(38\) m.
   d) Der Ballon sinkt, wenn \(h\,'(t)<0\) ist, also für \(-t+6<0\), d. h. \(t>6\). Ab der sechsten Minute sinkt er.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges: \(v(t)=s\,'(t)=0{,}15t^2-1{,}8t+6\) (Hundert Meter pro Minute).
   b) \(v(5)=0{,}15\cdot25-9+6=0{,}75\). Das sind \(75\) m/min, also \(75\cdot60=4500\) m/h \(=4{,}5\) km/h.
   c) \(a(t)=v\,'(t)=0{,}3t-1{,}8\). Die Geschwindigkeit ist am kleinsten, wo \(v\,'(t)=0\): \(0{,}3t=1{,}8\Rightarrow t=6\) Minuten. Da \(v\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt dort das Minimum.
   d) \(v(6)=0{,}15\cdot36-10{,}8+6=0{,}6\), also \(60\) m/min \(=3{,}6\) km/h. Lena ist nach \(6\) Minuten am langsamsten, vermutlich an einer Steigung.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Die Fixkosten fallen auch ohne Produktion an: \(K(0)=60\,€\).
   b) Die Grenzkosten sind die Ableitung: \(K\,'(x)=0{,}1x+2\). \(K\,'(20)=2+2=4\,€\): Der 21. Liter kostet ungefähr \(4\,€\) zusätzlich.
   c) \(0{,}1x+2=5\Rightarrow0{,}1x=3\Rightarrow x=30\). Bei \(30\) Litern betragen die Grenzkosten genau \(5\,€\).
   d) \(K\,'(30)=5\,€\). Ein zusätzlicher Liter bringt \(6{,}50\,€\) Erlös und kostet etwa \(5\,€\). Da \(5<6{,}50\), lohnt sich ein zusätzlicher Liter: Er bringt etwa \(1{,}50\,€\) Gewinn.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Bedingung: \(f\,'(x)=0\). \(f\,'(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3\). Der \(y\)-Wert: \(f(3)=9-18+5=-4\). Waagerechte Tangente im Punkt \(P(3\,|\,-4)\), dem Scheitelpunkt.
    b) \(g\,'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). \(g(2)=8-24=-16\) und \(g(-2)=-8+24=16\). Punkte \((2\,|\,-16)\) und \((-2\,|\,16)\).
    c) \(h\,'(x)=x^3-4x=x(x^2-4)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt: \(x=0\) oder \(x=\pm2\). \(h(0)=0\), \(h(\pm2)=4-8=-4\). Punkte \((0\,|\,0)\), \((2\,|\,-4)\), \((-2\,|\,-4)\).

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Mit der Faktorregel: \(h\,'(x)=\frac{1}{40}\cdot2x=\frac{1}{20}x=0{,}05x\).
    b) \(h\,'(10)=0{,}5=50\,\%\), \(h\,'(20)=1=100\,\%\), \(h\,'(40)=2=200\,\%\). Die Rampe wird also immer steiler.
    c) Steigung \(100\,\%\) heißt \(h\,'(x)=1\): \(\frac{x}{20}=1\Rightarrow x=20\) m. Dort ist die Bahn \(45^\circ\) steil, denn \(\tan45^\circ=1\).
    d) Bei \(x=0\) ist \(h\,'(0)=0\). Die Parabel hat dort ihren Scheitel und berührt den Boden waagerecht, darum beginnt die Rampe flach.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(-\frac15(x^2-10x+25)+5=-\frac15x^2+2x-5+5=-\frac15x^2+2x\). Also \(f\,'(x)=-\frac25x+2\).
    b) \(f(1)=-\frac15+2=1{,}8\) m und \(f\,'(1)=-\frac25+2=1{,}6\). Im Punkt \(P(1\,|\,1{,}8)\) steigt der Bogen mit \(160\,\%\).
    c) Punkt-Steigungs-Form: \(y=f\,'(1)(x-1)+f(1)=1{,}6(x-1)+1{,}8=1{,}6x+0{,}2\). Die Tangente lautet \(t(x)=1{,}6x+0{,}2\).
    d) Höchster Punkt bei \(f\,'(x)=0\): \(-\frac25x+2=0\Rightarrow x=5\). \(f(5)=5\) m, also liegt der Scheitel bei \((5\,|\,5)\). Das passt zur Scheitelpunktform.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) 8 Uhr heißt \(t=8\): \(T(8)=-16+48-20=12\) °C. 12 Uhr: \(T(12)=-36+72-20=16\) °C.
    b) \(T\,'(t)=-\frac12t+6\). \(T\,'(8)=-4+6=2\): Um 8 Uhr steigt die Temperatur um \(2\) °C pro Stunde.
    c) Am wärmsten bei \(T\,'(t)=0\): \(-\frac12t+6=0\Rightarrow t=12\). Um 12 Uhr ist es mit \(T(12)=16\) °C am wärmsten.
    d) Für \(t>12\) ist \(T\,'(t)<0\). Ab 12 Uhr kühlt das Gewächshaus also ab.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Zu Beginn ist \(t=0\): \(V(0)=2000\) Liter.
    b) Die Änderungsrate ist die Ableitung: \(V\,'(t)=-40+\frac25t\) Liter pro Minute. Das Minuszeichen zeigt, dass das Volumen abnimmt.
    c) \(V\,'(10)=-40+4=-36\). Nach \(10\) Minuten fließen also \(36\) Liter pro Minute ab.
    d) \(-40+0{,}4t=0\Rightarrow t=100\). Nach \(100\) Minuten fließt nichts mehr ab. Wegen \(V(100)=2000-4000+2000=0\) ist das Becken dann genau leer.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(G(2)=-8+48-40=0\), \(G(4)=-32+96-40=24\), \(G(6)=-72+144-40=32\), \(G(8)=-128+192-40=24\), \(G(10)=-200+240-40=0\). Alle Tabellenwerte stimmen.
    b) \(G\,'(x)=-4x+24\). \(G\,'(x)=0\Rightarrow4x=24\Rightarrow x=6\).
    c) Bei \(x=6\) wechselt \(G\,'\) von positiv zu negativ, dort ist der Gewinn maximal: \(600\) Brezeln bringen \(G(6)=32\,€\) Gewinn.
    d) Nein. \(1000\) Brezeln entsprechen \(x=10\), und \(G(10)=0\,€\). Nach dem Maximum fällt der Gewinn, weil die Kosten schneller wachsen als die Einnahmen.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position: \(v_1(t)=20\) m/s (konstant) und \(v_2(t)=2t+5\) m/s (zunehmend).
    b) \(2t+5=20\Rightarrow2t=15\Rightarrow t=7{,}5\) s. Dann fahren beide mit \(20\) m/s.
    c) \(s_1(7{,}5)=150\) m und \(s_2(7{,}5)=56{,}25+37{,}5=93{,}75\) m. Das erste Auto liegt \(150-93{,}75=56{,}25\) m vorn.
    d) Einholen heißt gleiche Position: \(t^2+5t=20t\Rightarrow t^2-15t=0\Rightarrow t(t-15)=0\). Also \(t=15\) s. Dann sind beide bei \(s=300\) m.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(p(5)=2{,}5+5=7{,}5\), \(p(10)=10+10=20\), \(p(15)=22{,}5+15=37{,}5\). Alle Werte stimmen mit der Tabelle überein.
    b) Mittlere Rate: \(\frac{20-7{,}5}{10-5}=2{,}5\) cm pro Tag. Mit \(p\,'(t)=0{,}2t+1\) gilt \(p\,'(5)=2\) und \(p\,'(10)=3\). Die mittlere Rate liegt zwischen den beiden momentanen Raten.
    c) \(0{,}2t+1=4\Rightarrow0{,}2t=3\Rightarrow t=15\). Am Tag \(15\) wächst die Pflanze mit \(4\) cm pro Tag.
    d) \(p\,'\) wächst immer weiter, die Pflanze würde also immer schneller wachsen. Nach einem Jahr wäre sie über \(130\) m hoch. Echte Pflanzen erreichen eine Grenzhöhe.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(h\,'(x)=-\frac{3}{150}x^2+\frac{2}{10}x=-\frac{x^2}{50}+\frac{x}{5}=\frac{x(10-x)}{50}\).
    b) \(h\,'(x)=0\Leftrightarrow x(10-x)=0\), also \(x=0\) oder \(x=10\).
    c) \(h(0)=2\) m. \(h(10)=-\frac{1000}{150}+10+2=\frac{16}{3}\approx5{,}33\) m (höchster Punkt). \(h(15)=-22{,}5+22{,}5+2=2\) m.
    d) \(h\,'(5)=\frac{5\cdot5}{50}=0{,}5\), also \(50\,\%\) Steigung. \(h\,'(15)=\frac{15\cdot(-5)}{50}=-1{,}5\), also \(150\,\%\) Gefälle. Am Ende ist die Bahn sehr steil.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Mit den Binomialkoeffizienten \(1,4,6,4,1\): \((x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4\).
    b) Nach Subtraktion von \(x^4\) bleibt \(4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4\). Jeder Summand enthält \(h\), also darf man kürzen: \(4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3\).
    c) Für \(h\to0\) gehen alle Summanden mit \(h\) gegen \(0\). Es bleibt \(f\,'(x)=4x^3=4\cdot x^{4-1}\). Das ist genau die Potenzregel.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(f(1)=a+b=-2\). Mit \(f\,'(x)=3ax^2+b\) folgt \(f\,'(1)=3a+b=1\).
    b) Zweite minus erste Gleichung: \(2a=3\), also \(a=\frac32\). Eingesetzt: \(b=-2-\frac32=-\frac72\).
    c) \(f(x)=\frac32x^3-\frac72x\) und \(f\,'(x)=\frac92x^2-\frac72\). Probe: \(f(1)=\frac32-\frac72=-2\) und \(f\,'(1)=\frac92-\frac72=1\). Beide Bedingungen sind erfüllt.