Tangenten und Normalen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Tangente und Normale

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(x_0\,|\,f(x_0))\) ist die Gerade, die den Graphen in \(P\) berührt und dieselbe Steigung hat wie der Graph. Ihre Steigung ist die Ableitung \(m_t=f'(x_0)\). Die Normale ist die Gerade durch \(P\), die senkrecht auf der Tangente steht.

Tangentengleichung

Mit der Punkt-Steigungs-Form einer Geraden erhältst du \[t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0).\] Vorgehen in drei Schritten: 1. \(f(x_0)\) berechnen, 2. \(f'(x)\) bestimmen und \(f'(x_0)\) berechnen, 3. in die Formel einsetzen und vereinfachen.

Beispiel 1. Tangente an \(f(x)=x^2\) in \(P(1\,|\,1)\): \(f'(x)=2x\), \(f'(1)=2\). Dann \(t(x)=2(x-1)+1=2x-1\).

Beispiel 2. Tangente an \(f(x)=x^3-3x\) bei \(x_0=2\): \(f(2)=8-6=2\), \(f'(x)=3x^2-3\), \(f'(2)=9\). Also \(t(x)=9(x-2)+2=9x-16\).

Normalengleichung

Zwei Geraden mit den Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) stehen senkrecht aufeinander, wenn \(m_1\cdot m_2=-1\) gilt. Die Normale hat deshalb die Steigung \[m_n=-\frac{1}{f'(x_0)}\quad(f'(x_0)\ne0).\] Ist \(f'(x_0)=0\), ist die Tangente waagerecht und die Normale senkrecht, also die Gerade \(x=x_0\). Für die Normale gilt \(n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)\).

Beispiel 3. Normale an \(f(x)=x^2\) in \(P(1\,|\,1)\): \(m_n=-\frac12\), also \(n(x)=-\frac12(x-1)+1=-\frac12x+\frac32\).

Die Abbildung zeigt die Parabel \(f(x)=x^2\) mit der Tangente \(t(x)=2x-1\) (rot) und der Normale \(n(x)=-\frac12x+\frac32\) (grün) im Punkt \(P(1\,|\,1)\).

Anschaulich bedeutet die Normale die Richtung, in die ein Ball von der Kurve wegrollen würde, wenn man ihn senkrecht von der Tangente abstößt. In der Technik und in der Optik spielt sie eine große Rolle, etwa beim Reflexionsgesetz an gekrümmten Spiegeln: Der Einfallswinkel wird immer zur Normalen gemessen. In der Schule brauchst du die Normale vor allem als Übung im Umgang mit Steigungen und Senkrechtkriterium.

Berührpunkte bei gegebener Steigung

Oft ist die Steigung vorgegeben und der Berührpunkt gesucht, zum Beispiel wenn die Tangente parallel zu einer Geraden \(y=mx+c\) sein soll. Dann löst du \(f'(x)=m\) und berechnest dazu \(f(x)\).

Beispiel 4. Für \(f(x)=x^2\) soll die Tangente parallel zu \(y=4x\) verlaufen: \(2x=4\Rightarrow x=2\), Berührpunkt \(P(2\,|\,4)\). Tangente: \(t(x)=4(x-2)+4=4x-4\).

Tangenten von einem Punkt außerhalb

Liegt ein Punkt \(Q\) nicht auf dem Graphen, geht man vom unbekannten Berührpunkt \(x_0\) aus. Die Tangente \(t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) muss durch \(Q\) laufen. Das Einsetzen der Koordinaten von \(Q\) ergibt eine Gleichung für \(x_0\).

Beispiel 5. Von \(Q(0\,|\,-4)\) werden Tangenten an \(f(x)=x^2\) gelegt. Für \(t(x)=2x_0(x-x_0)+x_0^2\) gilt \(t(0)=-2x_0^2+x_0^2=-x_0^2\). Die Bedingung \(-x_0^2=-4\) ergibt \(x_0=\pm2\). Die Tangenten sind \(y=4x-4\) und \(y=-4x-4\).

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden mit der Steigung \(m\) gegen die x-Achse erfüllt \(\tan\alpha=m\). Für \(m=2\) ist \(\alpha=\arctan2\approx63{,}4^\circ\). In Sachaufgaben wie dem Gefälle einer Straße oder dem Profil eines Hanges gibt man die Steigung oft in Prozent an: \(m=0{,}4\) entspricht 40 %.

Typische Aufgabenarten in der Klausur

In Klausuren kommen vier Aufgabentypen besonders häufig vor. Erstens: Tangente oder Normale in einem gegebenen Punkt. Zweitens: Berührpunkt zu einer vorgegebenen Steigung oder zu einer vorgegebenen Parallelen. Drittens: Tangente von einem Punkt außerhalb des Graphen. Viertens: Schnittpunkt der Tangente mit den Koordinatenachsen oder mit einer anderen Geraden. Bei allen vier Typen brauchst du dieselben Bausteine: \(f(x_0)\), \(f'(x_0)\) und die Punkt-Steigungs-Form. Schreibe deshalb jeden Schritt einzeln auf. So findest du Fehler leichter und bekommst auch dann Teilpunkte, wenn am Ende ein Rechenfehler passiert.

Beispiel 6. Bestimme den Schnittpunkt der Tangente an \(f(x)=x^2-1\) bei \(x_0=2\) mit der y-Achse. Es gilt \(f(2)=3\) und \(f'(2)=4\), also \(t(x)=4(x-2)+3=4x-5\). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0\,|\,-5)\), die Nullstelle der Tangente liegt bei \(x=\frac54\).

Häufige Fehler

• Für \(f'(x_0)\) den Funktionswert \(f(x_0)\) einsetzen oder umgekehrt.
• Bei der Normale das Vorzeichen vergessen: \(m_n=-\frac{1}{m_t}\), nicht \(\frac{1}{m_t}\) und nicht \(-m_t\).
• Bei der Punkt-Steigungs-Form \(x_0\) mit falschem Vorzeichen einsetzen: \(x-x_0\), nicht \(x+x_0\).
• Bei Tangenten von einem äußeren Punkt den Berührpunkt mit dem Punkt \(Q\) verwechseln.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Prüfe jede Tangentengleichung mit einer Probe. Die Tangente muss durch den Berührpunkt \(P\) verlaufen: \(t(x_0)=f(x_0)\). Zusätzlich kannst du \(f(x)\) und \(t(x)\) gleichsetzen. Bei einer Tangente ergibt sich an \(x_0\) eine doppelte Lösung, weil der Graph die Gerade nur berührt.

Zusammenfassung

Tangente: \(t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Normale: Steigung \(-\frac{1}{f'(x_0)}\). Bei vorgegebener Steigung löst du \(f'(x)=m\) und erhältst den Berührpunkt. Mit einer Skizze erkennst du schnell, ob dein Ergebnis plausibel ist, und die Probe über \(t(x_0)=f(x_0)\) schützt vor Vorzeichenfehlern.

Warum die Tangente die beste lineare Näherung ist

In der Nähe des Berührpunkts liegt der Graph von \(f\) fast auf der Tangente. Für kleine \(h\) gilt \(f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot h\). Mit dieser Näherung kannst du Funktionswerte schätzen, ohne sie genau auszurechnen. Zum Beispiel ist für \(f(x)=x^2\) und \(x_0=3\) der Wert von \(3{,}1^2\) etwa \(9+6\cdot0{,}1=9{,}6\). Der exakte Wert ist \(9{,}61\). Die Abweichung ist klein, denn \(h=0{,}1\) ist klein. Je weiter du dich vom Berührpunkt entfernst, desto größer wird der Fehler.