Ableitungsregeln – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Warum Ableitungsregeln?

Mit der h-Methode kannst du Ableitungen berechnen, aber der Aufwand ist groß. Zum Glück gibt es Regeln, mit denen du die Ableitungsfunktion \(f'\) direkt hinschreiben kannst. Die wichtigste ist die Potenzregel, dazu kommen Faktor-, Summen- und Konstantenregel. Mit diesen Regeln lässt sich jede ganzrationale Funktion ableiten.

Die Regeln im Überblick

• Konstantenregel: \(f(x)=c\ \Rightarrow\ f'(x)=0\).
• Potenzregel: \(f(x)=x^n\ \Rightarrow\ f'(x)=n\cdot x^{n-1}\). Dabei ist \(n\) eine Zahl, auch negativ oder ein Bruch.
• Faktorregel: \(f(x)=c\cdot g(x)\ \Rightarrow\ f'(x)=c\cdot g'(x)\).
• Summenregel: \(f(x)=g(x)+h(x)\ \Rightarrow\ f'(x)=g'(x)+h'(x)\) (ebenso bei der Differenz).

Merke: Der Exponent wird zum Faktor, und der Exponent wird um 1 kleiner. Aus \(x^1\) wird dabei \(1\cdot x^0=1\), also \((x)'=1\).

Beispiele für ganzrationale Funktionen

Beispiel 1. \(f(x)=x^5\Rightarrow f'(x)=5x^4\).

Beispiel 2. \(f(x)=4x^3-6x^2+x-7\). Jeder Summand wird einzeln abgeleitet: \(f'(x)=12x^2-12x+1\). Die Konstante \(-7\) fällt weg.

Beispiel 3. \(f(x)=0{,}5x^4+2x\Rightarrow f'(x)=2x^3+2\).

Beispiel 4 (erst ausmultiplizieren). \(f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9\Rightarrow f'(x)=2x+6\). Eine Produktregel brauchst du hier nicht, wenn du zuerst die Klammern auflöst. Genauso gilt \(g(x)=x(x-3)=x^2-3x\Rightarrow g'(x)=2x-3\).

Wurzeln und Brüche als Potenzen

Die Potenzregel gilt auch für andere Exponenten, wenn du die Funktion zuerst als Potenz schreibst: \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Dann ist \(\left(\frac1x\right)'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\), \(\left(\frac{3}{x}\right)'=-\frac{3}{x^2}\) und \((\sqrt{x})'=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Höhere Ableitungen

Die Ableitung von \(f'\) heißt zweite Ableitung \(f''\), die Ableitung von \(f''\) heißt dritte Ableitung \(f'''\). Beispiel: \(f(x)=x^4-2x^3\), dann \(f'(x)=4x^3-6x^2\), \(f''(x)=12x^2-12x\), \(f'''(x)=24x-12\). Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung ändert. Beim Weg \(s(t)\) ist \(s'(t)=v(t)\) die Geschwindigkeit und \(s''(t)=a(t)\) die Beschleunigung.

Ableitung auswerten und Steigung bestimmen

Setzt du eine Stelle \(x_0\) in \(f'\) ein, erhältst du die Steigung der Tangente in \((x_0\,|\,f(x_0))\). Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt \(f'(x)=3x^2-3\). Dann ist \(f'(2)=9\). Die Gleichung \(f'(x)=0\) liefert die Stellen mit waagerechter Tangente: \(3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1\).

Die Abbildung zeigt \(f(x)=x^3-3x\) (blau) und die Ableitung \(f'(x)=3x^2-3\) (rot). Dort, wo \(f'\) die x-Achse schneidet (bei \(x=\pm1\)), hat \(f\) eine waagerechte Tangente. Wo \(f'\) negativ ist, fällt \(f\).

Warum die Potenzregel stimmt

Für \(f(x)=x^3\) gilt nach der h-Methode \(\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\), und für \(h\to0\) bleibt \(3x^2\). Das ist genau \(3\cdot x^{3-1}\). Dasselbe Muster ergibt sich für jede Potenz: Beim Ausmultiplizieren von \((x+h)^n\) bleibt nach dem Subtrahieren von \(x^n\) als niedrigster Term \(n\,x^{n-1}h\) übrig, alle anderen enthalten höhere Potenzen von \(h\) und verschwinden im Grenzwert. Du musst den Beweis nicht auswendig lernen, aber er zeigt dir, dass die Regel kein Zufall ist.

Ausführliches Beispiel

Gegeben ist \(f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+3\). Gesucht sind die Stellen mit waagerechter Tangente. Zuerst leitest du ab: \(f'(x)=x^3-4x\). Dann setzt du \(f'(x)=0\): \(x(x^2-4)=0\), also \(x=0\), \(x=2\) oder \(x=-2\). Die Funktionswerte sind \(f(0)=3\), \(f(2)=4-8+3=-1\) und \(f(-2)=-1\). Die Punkte mit waagerechter Tangente sind also \((0\,|\,3)\), \((2\,|\,-1)\) und \((-2\,|\,-1)\). Genau diese Rechnung brauchst du im nächsten Kapitel für die Untersuchung von Extrempunkten.

Ableiten in Sachaufgaben

Im Sachzusammenhang liefert die Ableitung die Änderungsrate. Ist \(G(x)\) der Gewinn eines Betriebs bei \(x\) verkauften Stück, so ist \(G'(x)\) der zusätzliche Gewinn je weiterem Stück. Ist \(h(t)\) die Höhe eines Drachens, so gibt \(h'(t)\) die Steiggeschwindigkeit an. Gib das Ergebnis immer mit der passenden Einheit an, zum Beispiel Euro pro Stück oder Meter pro Sekunde, und deute es in einem Satz.

Kontrolle mit der Skizze

Vergleiche immer das Verhalten von \(f\) mit dem Vorzeichen von \(f'\): Ist \(f'(x)>0\), steigt der Graph von \(f\), ist \(f'(x)<0\), fällt er. Passt das nicht zu deiner Skizze oder zum Wertetabellenvergleich, hast du dich beim Ableiten verrechnet. Diese Kontrolle dauert nur wenige Sekunden und erspart dir Folgefehler in späteren Teilaufgaben, etwa bei der Tangentengleichung oder der Extremwertbestimmung.

Häufige Fehler

• Den Exponenten nicht um 1 verkleinern: \((x^4)'=4x^3\), nicht \(4x^4\).
• Konstante Summanden nicht weglassen: \((x^2+5)'=2x\), nicht \(2x+5\).
• Faktoren nicht mitableiten lassen: \((3x^2)'=6x\), und der Faktor 3 bleibt erhalten.
• \(\sqrt{x}\) und \(\frac1x\) nicht erst umschreiben und dann falsche Exponenten verwenden.
• Bei \((x+3)^2\) nicht \(2(x+3)\) mit \(2x\) verwechseln; ausmultiplizieren oder die Kettenregel (später) nutzen.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Prüfe jedes Ergebnis mit einer Stelle. Rechne den Differenzenquotienten für \(h=0{,}01\) aus und vergleiche mit \(f'(x_0)\). Wenn die beiden Werte fast übereinstimmen, hast du richtig abgeleitet. In der Klausur lohnt sich so eine kurze Probe bei schwierigen Termen.

Zusammenfassung

Ableiten heißt: Konstante weg, Exponent als Faktor nach vorn, Exponent um 1 verringern, Summanden einzeln behandeln. Mit \(f'\) bestimmst du Steigungen, Tangenten, Extrempunkte und Änderungsraten in Sachaufgaben. Übe die Regeln, bis du sie ohne Nachdenken anwenden kannst, denn sie begleiten dich durch die gesamte Oberstufe.