Einführung in die Integralrechnung – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Vom Bestand zur Änderungsrate und zurück

Bisher kennst du die Ableitung: Aus einer Bestandsfunktion wird die Änderungsrate bestimmt, zum Beispiel aus dem Weg die Geschwindigkeit. Die Integralrechnung kehrt diesen Vorgang um. Aus einer bekannten Änderungsrate soll der Bestand rekonstruiert werden. Beispiel: Fließt Wasser mit der Rate \(r(t)\) (in Litern pro Minute) in einen Tank, so interessiert dich, wie viel Wasser insgesamt hinzugekommen ist.

Ist die Rate konstant, rechnest du einfach: 5 Liter pro Minute über 12 Minuten ergeben \(5\cdot12=60\) Liter. Das ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite 12 und der Höhe 5. Ist die Rate nicht konstant, entspricht die Zunahme dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(r\) und der x-Achse.

Flächeninhalt unter einem Graphen

Die Fläche unter dem Graphen von \(f(x)=x^2\) über \([0;2]\) kannst du zuerst durch Rechtecke annähern. Teilst du das Intervall in \(n=4\) gleich breite Streifen der Breite \(0{,}5\), erhältst du:

• Untersumme (Rechtecke unter dem Graphen): \(0{,}5\cdot(0+0{,}25+1+2{,}25)=1{,}75\).
• Obersumme (Rechtecke über dem Graphen): \(0{,}5\cdot(0{,}25+1+2{,}25+4)=3{,}75\).

Der gesuchte Flächeninhalt liegt zwischen \(1{,}75\) und \(3{,}75\). Mit mehr Streifen rücken Unter- und Obersumme immer näher zusammen. Ihr gemeinsamer Grenzwert ist das bestimmte Integral \(\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x\).

Stammfunktion

Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\) gilt. Ist \(F\) eine Stammfunktion, dann ist auch \(F(x)+C\) mit beliebiger Konstante \(C\) eine, denn die Konstante fällt beim Ableiten weg. Für Potenzen gilt umgekehrt zur Potenzregel: \[f(x)=x^n\ \Rightarrow\ F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\ne-1).\] Beispiele: \(f(x)=x^2\) hat \(F(x)=\frac{x^3}{3}\), \(f(x)=4x^3\) hat \(F(x)=x^4\), \(f(x)=5\) hat \(F(x)=5x\). Für Summen und konstante Faktoren gelten die bekannten Regeln: \(f(x)=3x^2-4x+5\) hat \(F(x)=x^3-2x^2+5x\). Mache immer die Probe durch Ableiten.

Das bestimmte Integral

Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), dann ist der Zuwachs von \(F\) zwischen \(a\) und \(b\) gleich dem Flächeninhalt (mit Vorzeichen) unter dem Graphen von \(f\): \[\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a).\] Dieser Zusammenhang heißt Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Konstante \(C\) spielt keine Rolle, denn sie hebt sich bei der Differenz auf.

Beispiel 1. \(\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83\approx2{,}67\). Das passt zu den Schranken \(1{,}75\) und \(3{,}75\).

Beispiel 2. \(\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x=\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)=10\).

Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse

Das Integral zählt Flächen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb negativ. Verläuft der Graph nur oberhalb der x-Achse, ist das Integral der Flächeninhalt. Verläuft er unterhalb, nimmst du den Betrag. Wechselt \(f\) im Intervall das Vorzeichen, musst du an den Nullstellen aufteilen.

Beispiel 3. Die Funktion \(f(x)=4-x^2\) hat die Nullstellen \(\pm2\) und liegt dazwischen oberhalb der x-Achse. Fläche: \(\int_{-2}^2(4-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right)=\frac{32}3\).

Beispiel 4. Für \(f(x)=x-2\) auf \([0;4]\) gilt \(\int_0^4(x-2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}2-2x\right]_0^4=0\). Die beiden Dreiecke mit je Flächeninhalt 2 heben sich auf, der gesamte Flächeninhalt ist \(2+2=4\).

Bestand rekonstruieren

Ist \(r\) die Änderungsrate eines Bestands \(B\) mit Anfangsbestand \(B(0)\), dann gilt \(B(t)=B(0)+\int_0^tr(s)\,\mathrm{d}s\). Beispiel: Ein Tank enthält anfangs 10 m³ Wasser, die Zuflussrate beträgt \(r(t)=2t\) in m³ pro Stunde. Dann ist \(B(t)=10+t^2\). Nach 5 Stunden sind \(B(5)=35\) m³ im Tank.

Anschaulich lässt sich das Vorgehen so merken: Die Ableitung beantwortet die Frage „wie schnell ändert sich der Bestand gerade?“, das Integral beantwortet die Frage „wie viel hat sich insgesamt geändert?“. Beide Rechenarten gehören zusammen wie Hin- und Rückweg. Deshalb ist der Weg über die Stammfunktion so wirkungsvoll: Du musst keine unendlich vielen Rechtecke addieren, sondern nur zwei Funktionswerte von \(F\) berechnen und voneinander abziehen.

Häufige Fehler

• Beim Aufleiten die Potenz nicht um 1 erhöhen oder nicht durch den neuen Exponenten teilen.
• Beim Einsetzen der Grenzen \(F(a)-F(b)\) statt \(F(b)-F(a)\) rechnen.
• Flächen unterhalb der x-Achse ohne Betrag als positiven Flächeninhalt angeben.
• Die Probe durch Ableiten weglassen.
• Bei Sachaufgaben die Einheit vergessen (Fläche = Bestandsänderung in Einheit mal Einheit).

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Skizziere die Funktion immer, bevor du ein Integral berechnest. Dann siehst du, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt und ob das Intervall an Nullstellen geteilt werden muss. Vergleiche dein Ergebnis mit einer groben Schätzung durch Rechtecke: Es muss zwischen Untersumme und Obersumme liegen.

Zusammenfassung

Die Integralrechnung rekonstruiert Bestände aus Änderungsraten und berechnet Flächeninhalte. Zentrale Idee: Stammfunktion \(F\) mit \(F'=f\) und \(\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\). Mit Unter- und Obersumme kannst du Ergebnisse abschätzen und kontrollieren. In den nächsten Jahren der Oberstufe baust du darauf Flächen zwischen zwei Kurven, Volumina und Mittelwerte auf.

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert einer Funktion \(f\) über dem Intervall \([a;b]\) ist \(\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\). Er gibt die Höhe eines Rechtecks über \([a;b]\) an, das denselben Flächeninhalt hat wie die Fläche unter dem Graphen. Für \(f(x)=x^2\) auf \([0;3]\) ist \(\int_0^3x^2\,\mathrm{d}x=9\), der Mittelwert ist \(\frac93=3\). Bei einer Zuflussrate ist das die durchschnittliche Rate im Zeitraum.