Ableitungsregeln Klasse 11 Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Ableitungsregeln (Klasse 11) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Potenzregel üben
Die Potenzregel \((x^n)\,'=n\,x^{n-1}\) ist das wichtigste Werkzeug beim Ableiten. Wende sie an und begründe jeweils kurz, was mit dem Faktor und dem Exponenten passiert.
a) \(f(x)=x^7\)
b) \(g(x)=5x^4\)
c) \(h(x)=-2x^3\)
d) \(k(x)=x\)
e) \(m(x)=9\)
Aufgabe 2 – Summen ableiten
Leite jede Funktion ab. Schreibe jeden Summanden einzeln auf.
a) \(f(x)=x^3-4x^2+7x-2\)
b) \(g(x)=\frac12x^4+6x^2\)
c) \(h(x)=-x^5+3x^3-x\)
d) \(k(x)=0{,}2x^3-1{,}5x^2+4\)
Aufgabe 3 – Brüche und Wurzeln
Schreibe zuerst als Potenz mit negativem oder gebrochenem Exponenten und leite dann ab. Gib das Ergebnis wieder ohne negative Exponenten an.
a) \(f(x)=\frac1x\)
b) \(g(x)=\frac{3}{x^2}\)
c) \(h(x)=\sqrt{x}\)
d) \(k(x)=4\sqrt{x}\)
e) \(m(x)=\frac{2}{x^3}+x\)
Aufgabe 4 – Erst ausmultiplizieren
Bei Produkten und Klammern hilft es, zuerst auszumultiplizieren. Berechne dann die Ableitung.
a) \(f(x)=(x+2)^2\)
b) \(g(x)=x(x-4)\)
c) \(h(x)=(2x-1)(x+3)\)
d) \(k(x)=(x-1)(x+1)(x+2)\)
Aufgabe 5 – Höhere Ableitungen
Die zweite Ableitung \(f''\) ist die Ableitung von \(f\,'\). Berechne \(f\,'\), \(f''\) und \(f'''\) für die folgenden Funktionen.
a) \(f(x)=x^4-2x^3\)
b) \(g(x)=\frac13x^3+x^2-5x\)
c) \(h(x)=2x^5\)
Aufgabe 6 – Steigung an einer Stelle
Berechne die Steigung des Graphen von \(f(x)=x^3-3x^2+2x\) an den angegebenen Stellen und gib an, ob der Graph dort steigt oder fällt.
a) \(x_0=0\)
b) \(x_0=1\)
c) \(x_0=2\)
d) \(x_0=-1\)
Aufgabe 7 – Der Ballon
Ein Heißluftballon startet im Stadtpark. Seine Höhe über dem Boden beträgt nach \(t\) Minuten \(h(t)=-\frac12t^2+6t+20\) (in Metern, \(0\le t\le12\)).
a) Berechne die Starthöhe und die Höhe nach \(4\) Minuten.
b) Bestimme \(h\,'(t)\) und deute \(h\,'(2)\).
c) Wann steigt der Ballon nicht mehr (waagerechte Tangente)? Wie hoch ist er dann?
d) Wann sinkt der Ballon?
Aufgabe 8 – Die Radtour
Lena fährt mit dem Rad zum Badesee. Ihr zurückgelegter Weg ist näherungsweise \(s(t)=0{,}05t^3-0{,}9t^2+6t\) (\(t\) in Minuten, \(s\) in Hundert Metern).
a) Bestimme die Geschwindigkeit \(v(t)=s\,'(t)\).
b) Wie schnell ist sie nach \(5\) Minuten (in Hundert Metern pro Minute und in km/h)?
c) Berechne die Beschleunigung \(a(t)=s''(t)\) und die Zeit, zu der Lena am langsamsten ist.
d) Wie schnell ist sie dann?
Aufgabe 9 – Kosten in der Eisdiele
Eine kleine Eisdiele stellt Eis selbst her. Die Kosten für \(x\) Liter Eis pro Tag betragen \(K(x)=0{,}05x^2+2x+60\) (in Euro).
a) Wie hoch sind die Fixkosten?
b) Berechne die Grenzkosten \(K\,'(x)\) und \(K\,'(20)\).
c) Bei welcher Menge betragen die Grenzkosten genau \(5\,€\)?
d) Die Eisdiele verkauft den Liter für \(6{,}50\,€\). Lohnt sich ein zusätzlicher Liter bei \(x=30\)?
Aufgabe 10 – Waagerechte Tangenten
Bestimme alle Punkte des Graphen, in denen die Tangente waagerecht ist.
a) \(f(x)=x^2-6x+5\)
b) \(g(x)=x^3-12x\)
c) \(h(x)=\frac14x^4-2x^2\)
Aufgabe 11 – Die Quarterpipe
Das Profil einer Anlaufbahn wird durch \(h(x)=\frac{1}{40}x^2\) beschrieben (\(x\) und \(h\) in Metern, Gefälle nach unten ist hier als Höhenzuwachs gezählt). Die Steigung \(h\,'(x)\) beschreibt, wie steil die Bahn ist.
a) Berechne \(h\,'(x)\).
b) Wie steil ist die Rampe bei \(x=10\), \(x=20\) und \(x=40\) (in Prozent)?
c) Wo beträgt die Steigung \(100\,\%\) (also \(45^\circ\))?
d) Warum ist die Rampe am Anfang flach?
Aufgabe 12 – Die Brücke
Der Bogen einer Fußgängerbrücke hat die Form \(f(x)=-\frac15(x-5)^2+5\) (in Metern). Im Punkt \(P(1\,|\,f(1))\) soll ein Geländer angebracht werden, das parallel zur Tangente verläuft.
a) Multipliziere die Klammer aus und leite ab.
b) Berechne \(f(1)\) und die Steigung \(f\,'(1)\).
c) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt \(P\).
d) An welcher Stelle liegt der höchste Punkt der Brücke?
Aufgabe 13 – Temperatur im Gewächshaus
Die Temperatur im Gewächshaus eines Gartenbetriebs folgt zwischen \(6\) und \(18\) Uhr näherungsweise der Funktion \(T(t)=-\frac{1}{4}t^2+6t-20\) (\(t\) in Stunden nach Mitternacht, \(T\) in Grad Celsius).
a) Welche Temperatur herrscht um 8 Uhr und um 12 Uhr?
b) Berechne \(T\,'(t)\). Wie schnell ändert sich die Temperatur um 8 Uhr?
c) Wann ist es am wärmsten? Wie warm wird es?
d) Ab wann kühlt das Gewächshaus ab?
Aufgabe 14 – Wasserstand im Schwimmbecken
Das Wasser im Kinderbecken wird abgelassen. Die Wassermenge beträgt nach \(t\) Minuten \(V(t)=2000-40t+\frac{1}{5}t^2\) Liter (\(0\le t\le100\)).
a) Wie viel Wasser ist zu Beginn im Becken?
b) Bestimme die Abflussrate \(V\,'(t)\).
c) Wie schnell läuft das Wasser nach \(10\) Minuten ab?
d) Wann ist die Abflussrate Null? Was bedeutet das?
Aufgabe 15 – Gewinn des Schulkiosks
Der Schulkiosk verkauft Brezeln. Der Gewinn pro Woche in Abhängigkeit von der Zahl \(x\) der verkauften Brezeln (in Hundert) ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst und wird durch \(G(x)=-2x^2+24x-40\) (in Euro) modelliert.
\(x\) (Hundert) 2 4 6 8 10
\(G(x)\) in € 0 24 32 24 0
a) Überprüfe die Tabellenwerte durch Rechnung.
b) Berechne \(G\,'(x)\) und bestimme die Stelle, an der \(G\,'(x)=0\).
c) Wie viele Brezeln müssen verkauft werden, damit der Gewinn am größten ist? Wie groß ist er?
d) Der Hausmeister meint, bei \(1000\) Brezeln sei der Gewinn noch höher. Hat er recht?
Aufgabe 16 – Zwei Autos im Vergleich
Zwei Autos fahren auf einer Landstraße. Ihre Positionen (in Metern) nach \(t\) Sekunden sind \(s_1(t)=20t\) und \(s_2(t)=t^2+5t\).
a) Bestimme die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\).
b) Wann haben beide dieselbe Geschwindigkeit?
c) Wer liegt zu diesem Zeitpunkt vorn und um wie viele Meter?
d) Wann holt das zweite Auto das erste ein?
Aufgabe 17 – Zuwachs der Pflanze
Ein Sonnenblumenkeimling wird täglich vermessen. Die Tabelle zeigt die Höhe (in cm). Die Werte werden durch \(p(t)=0{,}1t^2+t\) angenähert (\(t\) in Tagen).
Tag 0 5 10 15
Höhe in cm 0 7,5 20 37,5
a) Prüfe, ob das Modell zu den Tabellenwerten passt.
b) Berechne die mittlere Wachstumsrate zwischen Tag 5 und Tag 10 und vergleiche sie mit \(p\,'(5)\) und \(p\,'(10)\).
c) Wann wächst die Pflanze mit \(4\) cm pro Tag?
d) Warum ist das Modell für lange Zeiträume unrealistisch?
Aufgabe 18 – Der Hügel der Achterbahn
Der erste Hügel einer Achterbahn im Freizeitpark wird zwischen \(x=0\) und \(x=15\) (in Metern) durch \(h(x)=-\frac{1}{150}x^3+\frac{1}{10}x^2+2\) beschrieben (\(h\) in Metern über dem Boden).
a) Berechne \(h\,'(x)\) und klammere aus.
b) Bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente.
c) Berechne die Höhe am Anfang, am höchsten Punkt und am Ende.
d) Wie steil ist die Bahn bei \(x=5\) und bei \(x=15\)?
Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Die Ableitung von x hoch vier
Wie die Potenzregel entsteht, kannst du dir mit der h-Methode für \(f(x)=x^4\) klarmachen. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{(x+h)^4-x^4}{h}\).
a) Multipliziere \((x+h)^4\) mithilfe der Binomialkoeffizienten \(1,4,6,4,1\) aus.
b) Subtrahiere \(x^4\) und kürze durch \(h\).
c) Lasse \(h\to0\) gehen und vergleiche mit der Potenzregel.
Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Gesucht ist die Funktion
Von einer ganzrationalen Funktion dritten Grades \(f(x)=ax^3+bx\) ist bekannt, dass der Graph durch \(P(1\,|\,-2)\) geht und dort die Steigung \(1\) hat.
a) Stelle die beiden Gleichungen \(f(1)=-2\) und \(f\,'(1)=1\) auf.
b) Löse das Gleichungssystem.
c) Gib \(f\) und \(f\,'\) an und prüfe die Bedingungen.

\(x\) (Hundert)	2	4	6	8	10
\(G(x)\) in €	0	24	32	24	0

Tag	0	5	10	15
Höhe in cm	0	7,5	20	37,5

So nutzt du das Arbeitsblatt Ableitungsregeln (Klasse 11) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Ableitungsregeln, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Ableitungsregeln (Klasse 11) gut auf die Klassenarbeit vor.

Ableitungsregeln – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Potenzregel üben

Aufgabe 2 – Summen ableiten

Aufgabe 3 – Brüche und Wurzeln

Aufgabe 4 – Erst ausmultiplizieren

Aufgabe 5 – Höhere Ableitungen

Aufgabe 6 – Steigung an einer Stelle

Aufgabe 7 – Der Ballon

Aufgabe 8 – Die Radtour

Aufgabe 9 – Kosten in der Eisdiele

Aufgabe 10 – Waagerechte Tangenten

Aufgabe 11 – Die Quarterpipe

Aufgabe 12 – Die Brücke

Aufgabe 13 – Temperatur im Gewächshaus

Aufgabe 14 – Wasserstand im Schwimmbecken

Aufgabe 15 – Gewinn des Schulkiosks

Aufgabe 16 – Zwei Autos im Vergleich

Aufgabe 17 – Zuwachs der Pflanze

Aufgabe 18 – Der Hügel der Achterbahn

Aufgabe 19 – Knobelaufgabe: Die Ableitung von x hoch vier

Aufgabe 20 – Knobelaufgabe: Gesucht ist die Funktion

So nutzt du das Arbeitsblatt Ableitungsregeln (Klasse 11) mit Lösungen

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