Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Matriz ampliada y reducción (2 puntos):

   \[\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&7\\2&-1&3&6\\3&1&-2&1\end{array}\right) \xrightarrow{F_2-2F_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&7\\0&-5&1&-8\\3&1&-2&1\end{array}\right) \xrightarrow{F_3-3F_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&7\\0&-5&1&-8\\0&-5&-5&-20\end{array}\right) \xrightarrow{F_3-F_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&7\\0&-5&1&-8\\0&0&-6&-12\end{array}\right)\]

   La última fila da \(-6z=-12\), luego \(z=2\) (0,5 puntos). La segunda da \(-5y+z=-8\), luego \(-5y=-10\) e \(y=2\) (0,5 puntos). La primera da \(x=7-2y-z=7-4-2=1\) (0,5 puntos).

   Comprobación: \(1+4+2=7\), \(2-2+6=6\) y \(3+2-4=1\) (0,5 puntos).

   El sistema es compatible determinado, con solución única \((1,2,2)\); las transformaciones elementales usadas no cambian las soluciones.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Por Sarrus, los productos directos suman \(9+a-2a=9-a\) y los inversos \(-3+a^2+6=a^2+3\). Entonces \(|A|=6-a-a^2=-(a-2)(a+3)\) (1 punto).

   Si \(a\neq2\) y \(a\neq-3\): \(|A|\neq0\), \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\) y el sistema es compatible determinado (0,5 puntos).

   Si \(a=-3\): \(F_2-2F_1=(0,1,-1\,|\,1)\) y \(F_3-F_1=(0,-4,4\,|\,1)\). Al sumar \(4\) veces la primera a la segunda queda \((0,0,0\,|\,5)\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\), sistema incompatible (1 punto).

   Si \(a=2\): \(F_2-2F_1=(0,1,4\,|\,1)\) y \(F_3-F_1=(0,1,4\,|\,1)\) coinciden, así que \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2\lt 3\): compatible indeterminado (0,5 puntos). De \(y+4z=1\) se obtiene \(y=1-4z\) y de la primera \(x=1-y+z=5z\). Soluciones: \((5t,\ 1-4t,\ t)\) (0,75 puntos). Con \(t=1\): \(5-3-1=1\), \(10-9+2=3\) y \(5-6+3=2\) (0,25 puntos).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Por Sarrus, \(|A|=3-(-6)=9\): los productos directos suman \(6-1-2=3\) y los inversos \(1-4-3=-6\) (1 punto).

   Se sustituye cada columna por los términos independientes: \(|A_1|=9\), \(|A_2|=18\) y \(|A_3|=27\) (2 puntos).

   \(x=\dfrac99=1\), \(y=\dfrac{18}9=2\) y \(z=\dfrac{27}9=3\) (0,5 puntos). Comprobación: \(2-2+3=3\), \(1+2+3=6\) y \(1-4+9=6\) (0,5 puntos).

   Cramer se puede aplicar porque el sistema es cuadrado y \(|A|\neq0\). Por ejemplo, desarrollando por la primera fila, \(|A_1|=3\cdot5+1\cdot12+1\cdot(-18)=9\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Con \(x\), \(y\), \(z\) los precios de croissant, napolitana y café: \(\begin{cases}2x+y+3z=8{,}9\\ x+2y+z=6{,}4\\ 3x+y+2z=8{,}7\end{cases}\). Cada ecuación iguala el coste de un pedido con lo que se pagó. (1 punto)
   2. Restando la tercera de la primera: \(-x+z=0{,}2\), luego \(z=x+0{,}2\). En la segunda: \(x+2y+x+0{,}2=6{,}4\), es decir, \(y=3{,}1-x\). En la primera: \(2x+3{,}1-x+3x+0{,}6=8{,}9\), \(4x=5{,}2\), \(x=1{,}3\). Entonces \(y=1{,}8\) y \(z=1{,}5\). Comprobación: \(2{,}6+1{,}8+4{,}5=8{,}9\), \(1{,}3+3{,}6+1{,}5=6{,}4\) y \(3{,}9+1{,}8+3=8{,}7\). (2 puntos)
   3. \(2\cdot1{,}3+2\cdot1{,}5=2{,}6+3=5{,}60\) €. (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(\begin{cases}20x+10y+5z=700\\ 10x+20y+10z=800\\ 30x+30y+15z=1\,500\end{cases}\). La tercera fila es la suma de las dos primeras, también en los términos independientes (\(700+800=1\,500\)). Entonces \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2\lt 3\): compatible indeterminado. (1,5 puntos)
   2. Solo hay dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: queda un grado de libertad y hay infinitas combinaciones de precios que explican las ventas. (0,5 puntos)
   3. De las dos primeras, simplificadas: \(4x+2y+z=140\) y \(x+2y+z=80\). Restando, \(3x=60\), \(x=20\). Entonces \(2y+z=60\). Con \(z=2y\): \(4y=60\), \(y=15\) y \(z=30\). Camiseta 20 €, pantalón 15 €, sudadera 30 €. Comprobación: \(400+150+150=700\) y \(200+300+300=800\). (1,5 puntos)
   4. \(10\cdot20+10\cdot15+10\cdot30=650\) €. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos