Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Resuelve \(x+y+z=6,\ 2x-y+z=3,\ x+2y-z=2\). Con \(F_2-2F_1\) y \(F_3-F_1\): \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right)\). Con \(3F_3+F_2\): \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&0&-7&-21\end{array}\right)\). De la última, \(z=3\); de la segunda, \(-3y-3=-9\Rightarrow y=2\); de la primera, \(x=6-2-3=1\). Solución: \((1,2,3)\).

Ejemplo 2

Para \(x+y=3,\ x-y=1\): \(|A|=-2\), \(x=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1\\1&-1\end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2\) y \(y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1\).

Ejemplo 3

\(x+y+z=3,\ x-y+2z=1\). Rango 2 y 3 incógnitas: 1 parámetro. Sea \(z=\lambda\): \(x+y=3-\lambda\) y \(x-y=1-2\lambda\). Sumando, \(2x=4-3\lambda\Rightarrow x=2-\tfrac32\lambda\); entonces \(y=3-\lambda-x=1+\tfrac12\lambda\). Soluciones: \((2-\tfrac32\lambda,\ 1+\tfrac12\lambda,\ \lambda)\).

Ejemplo 4

\(mx+y+z=1,\ x+my+z=m,\ x+y+mz=m^2\). Aquí \(|A|=(m-1)^2(m+2)\). Si \(m\neq1,-2\): SCD. Si \(m=1\): las tres ecuaciones son \(x+y+z=1\), \(x+y+z=1\), \(x+y+z=1\): SCI con 2 parámetros. Si \(m=-2\): sumando las tres ecuaciones se obtiene \(0=1-2+4=3\), imposible: SI.

Ejemplo 5

Discute \(x+y+z=2,\ 2x+3y+z=3,\ x+2y+mz=1\). Escalonando: \(F_2-2F_1=(0,1,-1\,|\,-1)\) y \(F_3-F_1=(0,1,m-1\,|\,-1)\); luego \(F_3'-F_2'=(0,0,m\,|\,0)\). Si \(m\neq0\): rango 3, SCD, y la solución es \(z=0\), \(y=-1\), \(x=3\). Si \(m=0\): la última fila es nula, rango 2 en ambas matrices y 3 incógnitas: SCI con 1 parámetro; con \(z=\lambda\) resulta \(y=-1+\lambda\), \(x=3-2\lambda\).

Ejemplo 6

Discute el sistema \(\begin{cases}x+y+z=2\\ x+2y+az=3\\ x+4y+a^2z=5\end{cases}\) según \(a\).

El determinante de la matriz de coeficientes es \(2a^2-4a-(a^2-a)+2=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)\). Si \(a\) es distinto de \(1\) y de \(2\), el sistema es compatible determinado. Si \(a=1\), las ecuaciones son \(x+y+z=2\), \(x+2y+z=3\) y \(x+4y+z=5\). Restando las dos primeras queda \(y=1\), y restando la segunda de la tercera queda \(2y=2\), que dice lo mismo. Los rangos valen 2 y el sistema es compatible indeterminado: \(x+z=1\), \(y=1\). Si \(a=2\), las ecuaciones son \(x+y+z=2\), \(x+2y+2z=3\) y \(x+4y+4z=5\). Restando la primera de las otras dos resultan \(y+z=1\) y \(3y+3z=3\), que son equivalentes. De nuevo los rangos valen 2 y el sistema es compatible indeterminado, con \(x=1\) e \(y+z=1\).

Ejemplo 7

Una librería de Salamanca vende novelas, cómics y revistas. En una semana ingresa 560 € por la venta de 80 libros en total. Las novelas cuestan 12 €, los cómics 8 € y las revistas 4 €, y se venden tantos cómics como novelas y revistas juntas. ¿Cuántos libros de cada tipo se venden?

Sean \(x\), \(y\) y \(z\) el número de novelas, cómics y revistas. Las condiciones dan \(x+y+z=80\), \(12x+8y+4z=560\) e \(y=x+z\). Sustituyendo \(y=x+z\) en la primera: \(2x+2z=80\), o sea \(x+z=40\), de donde \(y=40\). En la segunda, \(12x+320+4z=560\), es decir, \(12x+4z=240\) y \(3x+z=60\). Restando \(x+z=40\) queda \(2x=20\), luego \(x=10\) y \(z=30\). Se venden 10 novelas, 40 cómics y 30 revistas. Comprobación: \(120+320+120=560\) €.