Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas se escribe en forma matricial como \(AX=B\), donde \(A\) es la matriz de coeficientes, \(X\) el vector de incógnitas y \(B\) el de términos independientes. Se considera \(\begin{cases}2x+y-z=1\\ x-y+3z=6\\ 3x+2y+z=7\end{cases}\).

1. Escribe \(A\), \(X\), \(B\) y la matriz ampliada \(A^*\).
2. Comprueba si \((1,2,1)\) es solución.
3. Comprueba si \((1,1,2)\) es solución.
4. Calcula \(|A|\) y deduce cuántas soluciones tiene el sistema.

Resuelve por el método de Gauss el sistema \(\begin{cases}x+2y-z=6\\ 2x-y+z=-1\\ x+y+2z=1\end{cases}\).

1. Escribe la matriz ampliada.
2. Haz ceros bajo el primer pivote y luego bajo el segundo.
3. Resuelve por sustitución hacia atrás.
4. Comprueba la solución en las tres ecuaciones.

Estudia y resuelve el sistema \(\begin{cases}x-y+2z=1\\ 2x+y-z=5\\ 3x+z=6\end{cases}\).

1. Aplica Gauss a la matriz ampliada.
2. Calcula \(\operatorname{rg}A\) y \(\operatorname{rg}A^*\) y clasifica el sistema.
3. Halla todas las soluciones en función de un parámetro.
4. Da dos soluciones particulares y compruébalas.

El teorema de Rouché-Frobenius dice que un sistema es compatible si y solo si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*\). Estudia el sistema \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x-y+z=3\\ 3x+y+3z=4\end{cases}\).

1. Calcula el rango de la matriz de coeficientes.
2. Calcula el rango de la matriz ampliada.
3. Clasifica el sistema y explica el resultado.

Si \(|A|\neq0\), la solución de \(AX=B\) es \(x_i=|A_i|/|A|\), donde \(A_i\) resulta de cambiar la columna \(i\) por \(B\). Resuelve \(\begin{cases}x+z=3\\ 2x-y+z=2\\ x+y+z=5\end{cases}\).

1. Calcula \(|A|\).
2. Calcula \(|A_1|\), \(|A_2|\) y \(|A_3|\).
3. Obtén \(x\), \(y\), \(z\) y comprueba.

Un sistema es homogéneo si todos sus términos independientes son cero. Siempre admite la solución trivial \((0,0,0)\). Se considera \(\begin{cases}x-y+2z=0\\ 2x+y-z=0\\ x+2y-3z=0\end{cases}\).

1. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
2. Deduce si hay soluciones distintas de la trivial.
3. Resuelve el sistema y comprueba una solución.

Discute y resuelve según los valores de \(m\) el sistema \(\begin{cases}mx+y+z=1\\ x+my+z=m\\ x+y+mz=m^2\end{cases}\).

1. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y factorízalo.
2. Estudia el caso general (sistema de Cramer).
3. Estudia \(m=1\).
4. Estudia \(m=-2\).

Hay sistemas con más ecuaciones que incógnitas. Considera \(\begin{cases}x+y=3\\ 2x-y=0\\ x+2y=c\end{cases}\).

1. Resuelve las dos primeras ecuaciones.
2. ¿Para qué valor de \(c\) es compatible el sistema?
3. Clasifica el sistema para \(c=4\) con Rouché-Frobenius.

Para un concierto en un auditorio de Valencia se venden entradas de grada (20 €), de preferente (35 €) y de VIP (60 €). Se han vendido 400 entradas con una recaudación de 11 500 €. Además, se han vendido el doble de entradas de preferente que de VIP.

1. Llama \(x\), \(y\), \(z\) al número de entradas de cada tipo y escribe el sistema.
2. Resuélvelo por sustitución o por Gauss.
3. Calcula el porcentaje de la recaudación que aporta cada tipo de entrada.
4. Si el auditorio tiene 450 asientos, ¿cuántos quedan libres y qué recaudaría si se llenara con la misma proporción?

Un agricultor de La Rioja quiere preparar 100 kg de abono con 14 kg de nitrógeno (N) y 13 kg de fósforo (P). Dispone de tres abonos comerciales, cuya composición aparece en la tabla.

1. Llama \(x\), \(y\), \(z\) a los kilos de los abonos A, B y C y escribe el sistema (una ecuación por cada condición: total, N y P).
2. Resuélvelo.
3. ¿Cuántos kilos de potasio (K) contiene la mezcla?
4. Si el kilo de A cuesta 0,90 €, el de B 0,80 € y el de C 1,10 €, ¿cuánto cuesta la mezcla?

Una familia de Sevilla invierte 30 000 € en tres productos: un depósito al 2 %, un fondo al 3 % y un bono al 5 % anual. El primer año obtiene 1 050 € de intereses. Además, lo invertido en el bono es el doble de lo invertido en el depósito.

1. Plantea el sistema con \(x\), \(y\), \(z\) (euros en depósito, fondo y bono).
2. Resuélvelo.
3. Calcula la rentabilidad media de toda la inversión.
4. ¿Qué intereses habría dado todo el dinero en el depósito?

Una dietista del comedor de un colegio de Alicante diseña un menú con pasta, pollo y verdura. Las cantidades se miden en raciones de 100 g y la tabla recoge el aporte de cada ración. El menú debe aportar 575 kcal, 47 g de proteínas y 84 g de hidratos.

1. Llama \(x\), \(y\), \(z\) al número de raciones de pasta, pollo y verdura y escribe el sistema.
2. Simplifica la ecuación de los hidratos y despeja \(z\).
3. Resuelve el sistema.
4. Escribe el menú en gramos de cada alimento.

En el aparcamiento de un polígono de Zaragoza hay 60 vehículos entre coches (4 ruedas), motos (2 ruedas) y camiones (6 ruedas). En total se cuentan 220 ruedas y hay tantos coches como motos y camiones juntos.

1. Plantea el sistema con \(x\) coches, \(y\) motos y \(z\) camiones.
2. Resuélvelo por sustitución.
3. ¿Cuántos vehículos de cada tipo hay?
4. Si cada coche paga 1,50 € la hora, cada moto 0,60 € y cada camión 3 €, ¿cuánto se ingresa en una hora?

Una glorieta de una ciudad gallega tiene cuatro tramos de circulación \(x_1\) (de A a B), \(x_2\) (de B a C), \(x_3\) (de C a D) y \(x_4\) (de D a A), medidos en vehículos por hora. En cada cruce entran y salen vehículos por las calles de acceso, según la tabla. En cada cruce, los vehículos que entran son tantos como los que salen.

1. Escribe la ecuación de conservación en cada uno de los cuatro cruces.
2. Resuelve el sistema y expresa todo en función de \(x_1\).
3. Los tramos no pueden tener flujo negativo. ¿Cuál es el mínimo valor de \(x_1\)?
4. Por seguridad, ningún tramo puede superar 400 vehículos por hora. Halla el intervalo posible de \(x_1\).
5. Si \(x_1=300\), calcula \(x_2\), \(x_3\) y \(x_4\).

En un circuito con una pila de 11 V y tres ramas, las intensidades \(I_1\), \(I_2\) e \(I_3\) (en amperios) cumplen las leyes de Kirchhoff: en el nudo, \(I_1=I_2+I_3\); en la primera malla, \(2I_1+4I_2=11\) y en la segunda, \(4I_2-6I_3=0\) (resistencias en ohmios).

1. Escribe el sistema en la forma \(AX=B\) con \(X=(I_1,I_2,I_3)^t\).
2. Resuélvelo despejando \(I_1\) e \(I_3\) en función de \(I_2\).
3. Calcula las tres intensidades.
4. Comprueba la ley del nudo y calcula la potencia total \(P=11\cdot I_1\).

Discute según \(a\) el sistema \(\begin{cases}x+y+z=1\\ 2x+3y+az=3\\ x+ay+3z=3\end{cases}\) y resuélvelo cuando sea posible.

1. Calcula \(|A|\) y halla los valores críticos de \(a\).
2. Estudia \(a=0\).
3. Estudia \(a=3\) y resuelve.
4. Resuelve el caso general por Cramer.

Una cámara registra la trayectoria de un balón de baloncesto en un entrenamiento de Madrid, y tres puntos de la gráfica de \(y=ax^2+bx+c\) son \((1,2)\), \((2,3)\) y \((-1,6)\) (coordenadas en metros respecto de un origen fijo).

1. Plantea el sistema que deben cumplir \(a\), \(b\) y \(c\).
2. Resuélvelo.
3. Escribe la parábola y calcula su vértice.
4. ¿Es el vértice un máximo o un mínimo? ¿Cuál es la altura mínima?

Cada ecuación de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un plano. Se consideran los planos \(\pi_1:x+y+z=1\), \(\pi_2:x-y+z=3\) y \(\pi_3:3x+y+3z=4\).

1. Comprueba que no hay dos planos paralelos comparando sus vectores normales.
2. Estudia el sistema que forman con Rouché-Frobenius.
3. Interpreta geométricamente el resultado.

Para ajustar la combustión del etano, \(a\,\mathrm{C_2H_6}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}\), se exige que el número de átomos de cada elemento sea igual en los dos miembros. Es un sistema homogéneo.

1. Escribe una ecuación para el carbono, otra para el hidrógeno y otra para el oxígeno.
2. Resuélvelo en función de \(a\).
3. Elige los menores enteros positivos y escribe la reacción ajustada.
4. Comprueba el balance de átomos.

Una cooperativa agrícola de Castilla y León dispone de 100 hectáreas que reparte entre cereal (\(x\)), olivar (\(y\)) y viñedo (\(z\)), en hectáreas enteras. Los costes de cultivo son de 300, 500 y 800 € por hectárea y la cooperativa dispone exactamente de 40 000 €. Los beneficios son de 400, 700 y 1 200 € por hectárea, respectivamente.

1. Plantea el sistema y estudia su compatibilidad.
2. Resuelve el sistema en función de un parámetro \(k\) entero.
3. ¿Entre qué valores puede variar \(k\) para que las superficies sean no negativas y enteras?
4. Calcula el beneficio en función de \(k\) y halla el reparto de máximo beneficio.
5. La cooperativa decide plantar al menos 20 ha de olivar. ¿Cuál es ahora el mejor reparto y su beneficio?