Estos apuntes de distancias, ángulos y áreas de 2º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 17-18 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Distancias, ángulos, áreas y volúmenes. Antes de empezar, conviene repasar vectores en el espacio y rectas y planos, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de distancias, ángulos y áreas 2º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
Actividad de introducción: ¿a qué distancia está el dron?
Un dron de vigilancia forestal vuela sobre una ladera. El piloto lee en la pantalla su altura sobre el nivel del mar, pero lo que le importa para no chocar es la distancia al terreno. Si la ladera fuera horizontal, bastaría con restar alturas; pero en una pendiente la distancia más corta al suelo no es la vertical, sino la perpendicular a la ladera. Piensa antes de empezar: ¿cómo medirías la distancia entre dos tuberías que pasan una por encima de otra sin tocarse? ¿Cuánto debe medir una rampa para que su pendiente sea cómoda para una silla de ruedas? ¿Dónde hay que apuntar un foco para que la luz rebote en un espejo y llegue a un actor? Todas estas preguntas se responden con las herramientas de este tema: distancias entre puntos, rectas y planos, ángulos y proyecciones. Son las preguntas finales de casi todos los ejercicios de geometría de la PAU, y se resuelven combinando lo que ya sabes de vectores, rectas y planos.
Distancia entre dos puntos y punto medio
Definición: distancia entre dos puntos y punto medio
La distancia entre \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\) es \(d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\). El punto medio es \(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)\). El plano mediador de \(AB\) es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de \(A\) y \(B\): pasa por \(M\) y tiene a \(\overrightarrow{AB}\) como normal.
Ángulos
Propiedades: ángulos
- Entre dos rectas de directores \(\vec u,\vec v\): \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}\) (ángulo agudo, entre \(0^\circ\) y \(90^\circ\)).
- Entre dos planos de normales \(\vec n_1,\vec n_2\): \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\).
- Entre recta y plano: \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\cdot\vec u|}{|\vec n||\vec u|}\) (con seno, porque el ángulo es el complementario del que forma \(\vec u\) con la normal).
Distancias
Propiedades: distancias
- Punto a plano: \(d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
- Punto a recta \(r:(A,\vec u)\): \(d(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\).
- Entre planos paralelos: la distancia de un punto de uno al otro.
- Recta paralela a un plano: la distancia de un punto de la recta al plano.
- Entre rectas paralelas: la distancia de un punto de una a la otra.
- Entre rectas que se cruzan \(r:(P,\vec u)\) y \(s:(Q,\vec v)\): \(d(r,s)=\dfrac{|[\vec u,\vec v,\overrightarrow{PQ}]|}{|\vec u\times\vec v|}\) (volumen del paralelepípedo entre el área de la base).
Figura: la distancia de \(P\) a \(\pi\) es la longitud del segmento \(PM\), perpendicular al plano.
Ejemplo 1
\(d(P,\pi)\) con \(P(1,2,-1)\) y \(\pi:2x-y+2z+3=0\): \(\dfrac{|2-2-2+3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac13\).
Proyecciones y simétricos
Definición: proyecciones y simétricos
La proyección ortogonal de un punto \(P\) sobre un plano \(\pi\) es el punto \(M\) donde la recta por \(P\) perpendicular a \(\pi\) lo corta; el simétrico es \(P'=2M-P\) (\(M\) es el punto medio de \(PP'\)). Para una recta \(r\): se halla el plano por \(P\) perpendicular a \(r\); su corte con \(r\) es \(M\), y de nuevo \(P'=2M-P\).
Ejemplo 2
Simétrico de \(P(1,2,3)\) respecto de \(\pi:x+y+z=3\). Recta por \(P\) perpendicular: \((1+t,2+t,3+t)\). Corte: \(6+3t=3\Rightarrow t=-1\), \(M=(0,1,2)\). \(P'=2M-P=(-1,0,1)\).
Áreas y volúmenes
Propiedades: áreas y volúmenes
- Área del triángulo \(ABC\): \(\tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\); del paralelogramo, el módulo completo.
- Volumen del paralelepípedo: \(|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|\); del tetraedro, un sexto.
- Altura de un tetraedro desde \(D\): \(h=\dfrac{3V}{\text{área de }ABC}\), o la distancia de \(D\) al plano \(ABC\).
Errores frecuentes
¡Atención!
- Usar coseno en el ángulo recta-plano: es seno.
- Olvidar el valor absoluto en el ángulo y en la distancia a un plano.
- Calcular el simétrico olvidando duplicar: \(P'=2M-P\), no \(M\).
- Aplicar la fórmula de rectas que se cruzan a rectas paralelas (el denominador sería 0).
Más ejemplos resueltos
Ejemplo 3
\(d(P,r)\) con \(P(1,1,1)\) y \(r:(0,0,0)+\lambda(1,2,2)\). \(\overrightarrow{AP}\times\vec u=(1,1,1)\times(1,2,2)=(0,-1,1)\), módulo \(\sqrt2\); \(|\vec u|=3\). \(d=\dfrac{\sqrt2}{3}\approx0{,}47\).
Ejemplo 4
Para \(r:(1,0,1)+\lambda(1,2,-1)\) y \(\pi:2x-y+z-4=0\): \(\sin\alpha=\dfrac{|2-2-1|}{\sqrt6\sqrt6}=\dfrac16\), luego \(\alpha\approx9{,}6^\circ\).
Ejemplo 5
\(r:(1,0,0)+\lambda(1,1,2)\) y \(s:(0,1,1)+\mu(2,0,-1)\). \(\vec u\times\vec v=(-1,5,-2)\), con módulo \(\sqrt{30}\). \([\vec u,\vec v,\overrightarrow{PQ}]=4\). \(d=\dfrac{4}{\sqrt{30}}\approx0{,}73\).
En la PAU estos cálculos suelen enlazarse con los del tema anterior: primero se estudia la posición relativa y después, según el caso, se pide la distancia correspondiente. Practica el método completo en los ejercicios.
Un problema completo estilo PAU
Observación
Enunciado. Se consideran las rectas \(r:(1,0,0)+\lambda(1,1,2)\) y \(s:(0,1,1)+\mu(2,0,1)\). (a) Prueba que se cortan y halla el punto \(C\) de corte. (b) Halla la ecuación del plano \(\pi\) que las contiene. (c) Calcula la distancia del origen a \(\pi\). (d) Calcula el área del triángulo de vértices \(A(1,0,0)\in r\), \(B(0,1,1)\in s\) y \(C\).
Resolución. (a) Las direcciones \((1,1,2)\) y \((2,0,1)\) no son proporcionales y \(\begin{vmatrix}1&1&2\\2&0&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=0\), luego se cortan. Igualando coordenadas se obtiene \(\lambda=\mu=1\) y \(C(2,1,2)\).
(b) \(\vec n=(1,1,2)\times(2,0,1)=(1,3,-2)\). Con \(A(1,0,0)\): \(x+3y-2z-1=0\). Comprobación: \(B\) da \(0+3-2-1=0\) y \(C\) da \(2+3-4-1=0\).
(c) \(d(O,\pi)=\dfrac{|-1|}{\sqrt{1+9+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\approx0{,}27\).
(d) \(\overrightarrow{CA}=(-1,-1,-2)\) y \(\overrightarrow{CB}=(-2,0,-1)\). \(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}=(1,3,-2)\), de módulo \(\sqrt{14}\). Área \(=\dfrac{\sqrt{14}}{2}\approx1{,}87\) u². Observa que el vector del producto vectorial coincide con la normal del plano hallada en (b): es una buena comprobación.
Método: simétrico de un punto respecto de un plano
- Escribe la recta por \(P\) con director la normal del plano.
- Halla el punto \(M\) de corte con el plano.
- Calcula \(P'=2M-P\).
- Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(PP'\).
Estrategias para los problemas métricos
Método: elegir la fórmula de distancia adecuada
- Punto y plano: aplica directamente la fórmula con el valor absoluto del numerador y la raíz del módulo de la normal.
- Punto y recta: usa el producto vectorial \(|\overrightarrow{AP}\times\vec u|/|\vec u|\), o halla el pie de la perpendicular si también se pide el punto más cercano.
- Dos planos paralelos o una recta paralela a un plano: toma un punto de uno de ellos y calcula su distancia al otro.
- Dos rectas paralelas: es la distancia de un punto de una de ellas a la otra.
- Dos rectas que se cruzan: usa el producto mixto dividido entre el módulo del producto vectorial, o la perpendicular común si piden los puntos más próximos.
- Si los elementos se cortan, la distancia es cero: compruébalo antes de aplicar ninguna fórmula.
Ejemplo 6
Una antena está en \(A(5,0,0)\) y una carretera sigue la recta \(t(4,3,0)\) (km). ¿A qué distancia está la antena?
El producto vectorial del vector que va del origen a la antena por el vector director es \((0,0,15)\), de módulo 15, y el vector director mide 5. La distancia es \(15/5=3\) km. El punto más cercano de la carretera se halla imponiendo que el vector que lo une con la antena sea perpendicular a la carretera: se obtiene \(t=0{,}8\), es decir, el punto \((3{,}2;\,2{,}4;\,0)\). Con el teorema de Pitágoras se puede calcular después qué tramo de la carretera queda a menos de cierta distancia de la antena.
Ejemplo 7
¿Qué ángulo forma con el suelo una rampa que sube 0,5 m en 6 m de recorrido horizontal?
El vector normal a la rampa es \((1,0,-12)\), y el ángulo entre la rampa y el suelo es el que forman sus normales: el coseno vale \(12/\sqrt{145}\), que corresponde a unos 4,76 grados. En la práctica se suele dar la pendiente en tanto por ciento, que es la tangente de ese ángulo multiplicada por 100: aquí \(0{,}5/6\), un 8,33 %.
¡Atención!
En la fórmula de la distancia de un punto a un plano no olvides el valor absoluto ni el término independiente \(D\), que debe estar en el mismo miembro que el resto. Para el ángulo entre una recta y un plano se usa el seno, no el coseno, porque el vector que se conoce es el normal. Y al calcular el simétrico de un punto, recuerda que el pie de la perpendicular es el punto medio: el simétrico es \(2H-P\), no \(H\). Muchos alumnos pierden puntos en la PAU por dar como respuesta la proyección cuando se pedía el simétrico, o al revés.
Áreas, volúmenes y lugares geométricos
Propiedad: fórmulas de áreas y volúmenes con vectores
El área de un paralelogramo de lados \(\vec u\) y \(\vec v\) es \(|\vec u\times\vec v|\) y la del triángulo es la mitad. El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto y el de un tetraedro es la sexta parte. Con estas dos fórmulas se pueden calcular alturas sin hallar proyecciones: la altura de un triángulo sobre un lado es el doble del área dividido entre ese lado, y la altura de un tetraedro sobre una cara es el triple del volumen dividido entre el área de esa cara. Además, un lugar geométrico, como el plano mediador de un segmento o los planos bisectores de dos planos, se obtiene escribiendo la condición de igualdad de distancias para un punto genérico \((x,y,z)\) y simplificando.
Ejemplo 8
Halla la altura del tetraedro \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(C(0,8,0)\), \(D(2,2,5)\) sobre la cara \(BCD\).
El volumen es la sexta parte del producto mixto, \(240/6=40\). El área de la cara \(BCD\) es la mitad del módulo de \((40,30,20)\), unos 26,93. La altura vale el triple del volumen dividido entre esa área, aproximadamente 4,46. Se obtiene lo mismo calculando la distancia de \(A\) al plano \(4x+3y+2z-24=0\).
Observación: medir la Tierra con geometría
Los topógrafos que miden fincas, carreteras o túneles usan hoy receptores de GPS que dan las tres coordenadas de cada punto con precisión de centímetros. A partir de esas coordenadas, el programa calcula superficies, pendientes y volúmenes de tierra con las fórmulas de este tema. Hace más de dos mil años, Eratóstenes ya midió el tamaño de la Tierra comparando el ángulo de los rayos del Sol en dos ciudades de Egipto, y en el siglo XVIII una expedición con científicos españoles midió un arco de meridiano en Perú para comprobar que la Tierra está achatada por los polos.
El consejo de Otto
Cualquier distancia se reduce a una proyección ortogonal: si te atascas, halla el pie de la perpendicular y calcula la longitud del segmento. Así tendrás un método de comprobación.
Cómo usar los apuntes de distancias, ángulos y áreas de 2º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de distancias, ángulos y áreas y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de distancias, ángulos y áreas y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de distancias, ángulos y áreas de 2º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
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