Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Matriz ampliada \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\2&1&-1&2\\1&-1&2&5\end{array}\right)\). Con la primera fila como pivote: \(F_2-2F_1\) da \((0\ -1\ -3\,|\,-2)\) y \(F_3-F_1\) da \((0\ -2\ 1\,|\,3)\). Por último, \(F_3-2F_2\) da \((0\ 0\ 7\,|\,7)\). Se elige la primera fila como pivote porque su primer coeficiente es 1. (2 puntos)
   2. De la última fila, \(7z=7\), \(z=1\). En la segunda: \(-y-3=-2\), \(y=-1\). En la primera: \(x=2-y-z=2+1-1=2\). La solución es única, \((2,-1,1)\): sistema compatible determinado. Comprobación en la tercera ecuación: \(2+1+2=5\) ✓. (2 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. La tercera ecuación es la suma de las dos primeras: \((x+2y-z)+(2x+y+z)=3x+3y\) y \(1+5=6\). Al escalonar aparece una fila \((0\ 0\ 0\,|\,0)\), así que quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: sistema compatible indeterminado (SCI), con infinitas soluciones. (2 puntos)
   2. \(F_2-2F_1\) da \(-3y+3z=3\), es decir, \(y=z-1\). Tomamos \(z=\lambda\) como parámetro: \(y=\lambda-1\) y, de la primera, \(x=1-2(\lambda-1)+\lambda=3-\lambda\). La solución general es \((3-\lambda,\ \lambda-1,\ \lambda)\), con \(\lambda\in\mathbb{R}\). (2 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(F_2-F_1\) da \(y+z=2\). \(F_3-F_2\) da \((k-2)z=k-3\). Si \(k\neq2\), se puede despejar \(z=\dfrac{k-3}{k-2}\) y la solución es única: sistema compatible determinado. Si \(k=2\), la ecuación queda \(0=-1\), imposible: sistema incompatible. Con \(k=2\) el sistema escalonado tiene una fila \((0\ 0\ 0\,|\,-1)\): el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la ampliada, 3. (2,5 puntos)
   2. Con \(k=3\): \((3-2)z=0\), luego \(z=0\). De \(y+z=2\), \(y=2\). De la primera, \(x=3-2-0=1\). Solución \((1,2,0)\). Comprobación en la tercera: \(1+4+0=5=k+2\) ✓. Coincide con la fórmula general: \(z=\frac{3-3}{3-2}=0\). (1,5 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Sean \(a\), \(n\) y \(j\) los adultos, niños y jubilados. Personas: \(a+n+j=15\). Dinero: \(20a+12n+10j=206\). Condición: \(n=2a\). Son tres ecuaciones para tres incógnitas: el número de personas, el importe pagado y la relación entre niños y adultos. (1 punto)
   2. Sustituyendo \(n=2a\) en la primera: \(j=15-3a\). En la segunda: \(20a+24a+10(15-3a)=206\), es decir, \(14a+150=206\), luego \(a=4\). Entonces \(n=8\) y \(j=3\). Van 4 adultos, 8 niños y 3 jubilados. Comprobación: \(80+96+30=206\) €. El número de jubilados, \(15-3a\), debe ser un entero no negativo, lo que limita \(a\) a valores de 0 a 5. (2 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(\left\{\begin{array}{l}2x+3y+4z=64\\x+y+2z=28\\x+2y+3z=41\end{array}\right.\) (1 punto)
   2. Con \(F_2\) como primera fila: \(F_1-2F_2\): \(y=8\); \(F_3-F_2\): \(y+z=13\), \(z=5\); \(x=28-8-10=10\). Se fabricaron 10 de paseo, 8 de montaña y 5 eléctricas. Restar dos veces la segunda ecuación a la primera elimina \(x\) y \(z\) a la vez: \(2x+3y+4z-2(x+y+2z)=y\) y \(64-56=8\). Comprobación: \(20+24+20=64\) y \(10+16+15=41\). (2 puntos)
   3. \(500+640+750=1\,890\) €. Se multiplica cada cantidad por su beneficio unitario: \(10\cdot50+8\cdot80+5\cdot150\). (0,5 puntos)
   4. Con 30 h de pintura: \(F_1-2F_2\): \(y=64-60=4\); \(F_3-F_2\): \(y+z=11\), \(z=7\); \(x=30-4-14=12\). Producción: 12, 4 y 7. Beneficio: \(600+320+1\,050=1\,970\) €. Al disponer de más pintura bajan las bicicletas de montaña y suben las eléctricas, que son las más rentables. (1,5 puntos)

Total : 20 puntos