Determinantes – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

\(\begin{vmatrix}1&2&0\\3&-1&2\\0&1&4\end{vmatrix}=(-4+0+0)-(0+2+24)=-4-26=-30\).

Ejemplo 2

Para \(\begin{vmatrix}2&0&1&3\\1&0&2&0\\0&1&1&1\\3&0&1&2\end{vmatrix}\) se desarrolla por la columna 2, que solo tiene un elemento no nulo (un 1 en la fila 3, posición \((3,2)\), signo \((-1)^5=-1\)): \(|A|=-\begin{vmatrix}2&1&3\\1&2&0\\3&1&2\end{vmatrix}=-(8+0+3-18-0-2)=-(-9)=9\).

Ejemplo 3

Para \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}\): \(|A|=6+0+0-0-2-3=1\). Los adjuntos son \(A_{11}=2\), \(A_{12}=-3\), \(A_{13}=1\), \(A_{21}=-3\), \(A_{22}=6\), \(A_{23}=-2\), \(A_{31}=1\), \(A_{32}=-2\), \(A_{33}=1\). Como \(|A|=1\), \(A^{-1}=(\mathrm{Adj}A)^t=\begin{pmatrix}2&-3&1\\-3&6&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}\).

Ejemplo 4

\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m^2\end{pmatrix}\). Restando la fila 1 a las otras dos: \(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&m-1&0\\0&0&m^2-1\end{vmatrix}=(m-1)(m^2-1)=(m-1)^2(m+1)\). Es invertible si \(m\neq1\) y \(m\neq-1\). Si \(m=1\) el rango es 1; si \(m=-1\), el rango es 2.

Ejemplo 5

Calcula \(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&7&11\end{vmatrix}\). Se hace \(F_2-2F_1\) y \(F_3-3F_1\), que no alteran el determinante: \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&1&2\end{vmatrix}\). Desarrollando por la primera columna queda \(1\cdot(1\cdot2-1\cdot1)=1\).

Ejemplo 6

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\). El menor \(\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq0\), así que el rango es al menos 2. Como \(|A|=0\) (la fila 2 es el doble de la fila 1), el rango es exactamente 2.

Ejemplo 7

Si \(\begin{vmatrix}a&b&c\\1&2&3\\4&5&6\end{vmatrix}=5\), calcula \(\begin{vmatrix}3a&3b&3c\\2&4&6\\4&5&6\end{vmatrix}\). Se saca factor común 3 de la fila 1 y 2 de la fila 2: el valor es \(3\cdot2\cdot5=30\).

Ejemplo 8

Calcula \(\begin{vmatrix}2&1&0&1\\1&3&1&0\\0&1&2&1\\1&0&1&4\end{vmatrix}\) haciendo ceros.

Elegimos como pivote el \(1\) de la fila 2, columna 1. Restamos a la fila 1 el doble de la fila 2 y a la fila 4 la fila 2: resultan \(F_1-2F_2=(0,-5,-2,1)\) y \(F_4-F_2=(0,-3,0,4)\). Esas operaciones no cambian el determinante. Ahora la primera columna es \((0,1,0,0)^t\) y al desarrollar por ella solo sobrevive el pivote, con signo \((-1)^{2+1}=-1\). Queda \(-\begin{vmatrix}-5&-2&1\\1&2&1\\-3&0&4\end{vmatrix}\). Por Sarrus, los productos directos suman \(-40+6+0=-34\) y los inversos \(-6+0-8=-14\), de modo que el determinante de orden 3 es \(-34-(-14)=-20\) y el resultado final es \(-(-20)=20\).

Ejemplo 9

Comprueba que los puntos \(A(1,1)\), \(B(4,2)\) y \(C(7,3)\) están alineados.

Formamos el determinante con una columna de unos: las filas son \((1,1,1)\), \((4,2,1)\) y \((7,3,1)\). Los productos directos suman \(2+7+12=21\) y los inversos \(14+3+4=21\). La diferencia es cero, luego los puntos están alineados. Se puede entender también porque el paso de \(A\) a \(B\) es \((3,1)\) y el de \(B\) a \(C\) es otra vez \((3,1)\): ambos vectores son proporcionales.