Matrices – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\): \[AB=\begin{pmatrix}1\cdot3+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot2\\0\cdot3-1\cdot1&0\cdot0-1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}3&6\\1&1\end{pmatrix}.\] Como \(AB\neq BA\), las matrices no conmutan.

Ejemplo 2

Si \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), entonces \(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\) y se deduce que \(A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\).

Ejemplo 3

Para \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\): \(F_2-2F_1=(0,0,0)\) y \(F_3-F_1=(0,-2,-2)\). Quedan dos filas no nulas, luego el rango es 2.

Ejemplo 4

Para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\): \((A|I)=\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&5&0&1\end{array}\right)\). Con \(F_2-3F_1\): \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-1&-3&1\end{array}\right)\). Con \(-F_2\) y luego \(F_1-2F_2\): \(\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-5&2\\0&1&3&-1\end{array}\right)\). Así \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\).

Ejemplo 5

Resuelve \(AX+B=C\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}\). Paso 1: \(AX=C-B=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}\). Paso 2: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\). Paso 3: \(X=A^{-1}(C-B)=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-4\\0&3\end{pmatrix}\).

Ejemplo 6

Estudia el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}\) según \(a\). Se calcula el determinante: \(|A|=-(a-1)^2(a+2)\). Si \(a\neq1\) y \(a\neq-2\), el rango es 3. Si \(a=1\), las tres filas son iguales y el rango es 1. Si \(a=-2\), el determinante es nulo y las dos primeras filas son independientes: el rango es 2.

Ejemplo 7

Una tienda vende dos productos en tres sucursales. La matriz \(V=\begin{pmatrix}10&20&15\\5&8&12\end{pmatrix}\) recoge las unidades vendidas (filas: productos; columnas: sucursales) y el vector fila \(p=(3,\,5)\) los precios en euros. Los ingresos por sucursal se obtienen con \(pV=(3\cdot10+5\cdot5,\;3\cdot20+5\cdot8,\;3\cdot15+5\cdot12)=(55,\,100,\,105)\). El producto de matrices resume en una sola operación muchos cálculos.

Ejemplo 8

Resuelve \(AX=B+2X\) con \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\).

Se pasa \(2X\) al primer miembro: \(AX-2X=B\). Como \(2X=2IX\), se saca factor común por la izquierda: \((A-2I)X=B\). Aquí \(A-2I=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\), con determinante \(-1\), luego es invertible y su inversa es \(\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\). Entonces \(X=(A-2I)^{-1}B=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix}\). Para comprobar, calculamos \(AX\) y \(B+2X\) y vemos que coinciden. Fíjate en que hemos tenido cuidado con el lado: \(X\) queda a la derecha de \((A-2I)\), y por eso la inversa se coloca a la izquierda de \(B\).

Ejemplo 9

En una empresa de reparto, la matriz \(T=\begin{pmatrix}\frac{7}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{4}{5}\end{pmatrix}\) indica la proporción de paquetes que cada mes pasan de un centro a otro. Si hoy hay 100 paquetes en el primer centro y 200 en el segundo, ¿cuántos habrá el mes que viene?

El vector de paquetes es \(v=(100,200)^t\). El mes siguiente se obtiene con \(Tv\). El primer centro tendrá \(0{,}7\cdot100+0{,}2\cdot200=110\) paquetes y el segundo \(0{,}3\cdot100+0{,}8\cdot200=190\). El total se conserva (300 paquetes), cosa que siempre ocurre cuando cada columna de la matriz suma 1. Para saber cuántos habrá dentro de dos meses basta multiplicar de nuevo por \(T\), o calcular \(T^2v\).