Aplicaciones de las derivadas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\): \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\). Signo de \(f'\): \(+\) en \((-\infty,-1)\), \(-\) en \((-1,3)\), \(+\) en \((3,\infty)\). Máximo en \(x=-1\) con \(f(-1)=10\); mínimo en \(x=3\) con \(f(3)=-22\). \(f''(x)=6x-6\): inflexión en \(x=1\), \(f(1)=-6\); convexa para \(x>1\).

Ejemplo 2

\(f(x)=x^3-12x\) en \([-3,5]\): \(f'=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm2\). \(f(-3)=9\), \(f(-2)=16\), \(f(2)=-16\), \(f(5)=65\). Máximo absoluto 65 en \(x=5\); mínimo absoluto \(-16\) en \(x=2\).

Ejemplo 3

De todos los rectángulos de perímetro 40, ¿cuál tiene área máxima? Lados \(x\) y \(20-x\): \(A(x)=x(20-x)\), \(A'=20-2x=0\Rightarrow x=10\), \(A''=-2<0\): máximo. Es el cuadrado de lado 10 y área 100.

Ejemplo 4

\(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\). Dominio \(x\neq1\). Corta en \((0,0)\). Asíntota vertical \(x=1\); oblicua \(y=x+1\) (porque \(\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac1{x-1}\)). \(f'=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\): se anula en \(0\) y \(2\); máximo relativo en \(x=0\) (\(f=0\)), mínimo relativo en \(x=2\) (\(f=4\)). Crece en \((-\infty,0)\) y \((2,\infty)\), decrece en \((0,1)\) y \((1,2)\).

Ejemplo 5

Halla \(a,b\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) tenga un mínimo en \(x=2\) con valor \(-4\). Condiciones: \(f'(2)=12+4a+b=0\) y \(f(2)=8+4a+2b=-4\). De la primera, \(b=-12-4a\); en la segunda: \(8+4a-24-8a=-4\Rightarrow a=-3\), \(b=0\). Comprobación: \(f''(2)=12-6=6>0\), es un mínimo.

Ejemplo 6

Un huerto rectangular junto a un muro se valla por tres lados con 60 m de valla. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Si los lados perpendiculares al muro miden \(x\), el paralelo mide \(60-2x\), y el área es \(x(60-2x)\). Su derivada, \(60-4x\), se anula en \(x=15\), y la segunda derivada es negativa. El huerto óptimo mide 15 m por 30 m, con 450 m². Observa que no es un cuadrado: como el muro ahorra valla en un lado, conviene que ese lado sea el más largo.

Ejemplo 7

Un cable va de una central a un pueblo situado al otro lado de un río de 3 km, 8 km río abajo. Bajo el agua cuesta 50 000 € por km y por tierra 30 000 €. ¿Dónde debe salir del agua?

Si sale del agua a \(x\) km río abajo, el coste en miles de euros es \(50\sqrt{9+x^2}+30(8-x)\). Al derivar e igualar a cero queda \(5x=3\sqrt{9+x^2}\), cuya solución positiva es \(x=2{,}25\) km. El coste mínimo es de 360 000 €, frente a 390 000 € si cruza en perpendicular. Este tipo de razonamiento es el mismo que explica por qué la luz se refracta al pasar del aire al agua.

Ejemplo 8

Los casos acumulados de una epidemia son \(C(t)=-t^3+12t^2\) (cientos, \(t\) en semanas). ¿Cuándo se propaga más deprisa?

La velocidad de propagación es \(C^{\prime}(t)=-3t^2+24t\), una parábola hacia abajo con el vértice en \(t=4\). En ese momento \(C^{\prime\prime}(4)=0\) y la gráfica de \(C\) pasa de convexa a cóncava. A partir de la cuarta semana siguen apareciendo casos, pero cada semana menos que la anterior.