Sistemas de ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

← Volver al examen

1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(x=4+y\): \(12+3y+2y=7\), \(5y=-5\), \(y=-1\) y \(x=3\). Comprobación: \(9-2=7\) ✓, \(3+1=4\) ✓. Usamos sustitución: despejamos \(x\) de la segunda ecuación, que es la más sencilla, y lo llevamos a la primera, \(3(4+y)+2y=7\). La solución única es \((3,-1)\), así que el sistema es compatible determinado: las rectas se cortan en ese punto.
   2. \(\dfrac24=\dfrac{-1}{-2}\neq\dfrac35\): incompatible. Son dos rectas paralelas que no se cortan. Si multiplicamos la primera ecuación por 2 se obtiene \(4x-2y=6\), que contradice \(4x-2y=5\). Las rectas tienen la misma pendiente, 2, y distinta ordenada en el origen (\(-3\) y \(-2{,}5\)), por lo que el sistema no tiene solución.

2. Solución del ejercicio 2 (5 puntos)

   1. \(E_2-2E_1\): \(-y-3z=-8\), es decir, \(y+3z=8\). \(E_3-E_1\): \(-2y+z=5\). Sumando a esta el doble de la anterior: \(7z=21\). Sistema escalonado: \(x+y+z=4\); \(y+3z=8\); \(7z=21\). Se busca un sistema triangular: \(x\) desaparece de las ecuaciones segunda y tercera, e \(y\) de la tercera.
   2. \(z=3\); \(y=8-9=-1\); \(x=4+1-3=2\). Comprobación: \(2-1+3=4\) ✓; \(4-1-3=0\) ✓; \(2+1+6=9\) ✓. Compatible determinado: \((2,-1,3)\). Se resuelve de abajo arriba. Hay una única solución, así que geométricamente son tres planos que se cortan en un punto.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(x+y=10\) y \(x^2+y^2=58\). Llamamos \(x\) e \(y\) a los números. Es un sistema no lineal por la segunda ecuación.
   2. \(y=10-x\): \(x^2+100-20x+x^2=58\), \(2x^2-20x+42=0\), \(x^2-10x+21=0\), \(x=3\) o \(x=7\). Los números son 3 y 7. Despejamos \(y\) en la ecuación lineal y sustituimos en la cuadrática. Si \(x=3\), \(y=7\); si \(x=7\), \(y=3\): las dos soluciones dan el mismo par de números. Comprobación: \(3+7=10\) y \(9+49=58\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \((0,0)\); \((3,0)\); \((0,4)\); y el corte de \(x+2y=8\) con \(3x+y=9\): \(x=8-2y\), \(24-6y+y=9\), \(y=3\), \(x=2\). Vértice \((2,3)\). Los vértices son los cortes de las rectas frontera que cumplen todas las desigualdades: \(3x+y=9\) corta el eje \(X\) en \((3,0)\) y \(x+2y=8\) corta el eje \(Y\) en \((0,4)\). Los otros cortes con los ejes, \((8,0)\) y \((0,9)\), no son válidos. La región es un cuadrilátero de vértices \((0,0)\), \((3,0)\), \((2,3)\) y \((0,4)\).
   2. \(2+4=6\le8\) y \(6+2=8\le9\): sí pertenece. Además \(x=2\ge0\) e \(y=2\ge0\). Cumple las cuatro desigualdades sin ninguna igualdad, así que es un punto interior de la región.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(x\): gorras; \(y\): camisetas; \(z\): zapatillas. \(x+y+z=100\); \(20x+30y+50z=3\,100\), que se simplifica a \(2x+3y+5z=310\); \(z=x-10\). La primera ecuación cuenta artículos, la segunda los ingresos y la tercera relaciona zapatillas y gorras.
   2. Sustituyendo \(z\): \(2x+y=110\) y \(7x+3y=360\). De la primera, \(y=110-2x\): \(7x+330-6x=360\), \(x=30\). Entonces \(y=50\) y \(z=20\). Comprobación: \(30+50+20=100\) y \(600+1\,500+1\,000=3\,100\) €. Se vendieron 30 gorras, 50 camisetas y 20 pares de zapatillas.
   3. Zapatillas: \(20\cdot50=1\,000\) €. \(\dfrac{1\,000}{3\,100}\approx0{,}3226\), es decir, un 32,3 % de los ingresos.

Total : 20 puntos