Vectores en el espacio – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\begin{vmatrix}1&0&2\\2&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(1-0)-0+2\cdot(2-0)=5\neq0\): son linealmente independientes y, al ser tres en \(\mathbb R^3\), forman una base. Tres vectores de \(\mathbb R^3\) forman base si y solo si su determinante no es nulo. (1,5 puntos)
   2. Se resuelve \(\alpha(1,0,2)+\beta(2,1,0)+\gamma(0,1,1)=(3,2,3)\): \(\alpha+2\beta=3\), \(\beta+\gamma=2\), \(2\alpha+\gamma=3\). De la primera \(\alpha=3-2\beta\); de la segunda \(\gamma=2-\beta\); en la tercera \(6-4\beta+2-\beta=3\), \(\beta=1\). Entonces \(\alpha=1\), \(\gamma=1\): coordenadas \((1,1,1)\). Comprobación: \((1,0,2)+(2,1,0)+(0,1,1)=(3,2,3)\). (1,5 puntos)
   3. \(\begin{vmatrix}1&m&0\\1&0&2\\2&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(0-2)-m(0-4)+0=4m-2=0\), luego \(m=\tfrac12\). Para \(m=\frac12\), \((1,\frac12,0)=\frac12\vec b\), así que es combinación lineal de los otros. (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\vec u\cdot\vec v=2-1+0=1\), \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=\sqrt2\). \(\cos\alpha=\dfrac1{3\sqrt2}\approx0{,}2357\), \(\alpha\approx76{,}4^\circ\). Los módulos: \(|\vec u|=\sqrt{4+1+4}=3\) y \(|\vec v|=\sqrt{1+1}\). (1 punto)
   2. \(\vec u\times\vec v=(1\cdot0-(-2)(-1),\ -2\cdot1-2\cdot0,\ 2\cdot(-1)-1\cdot1)=(-2,-2,-3)\), de módulo \(\sqrt{17}\). Área: \(\tfrac{\sqrt{17}}2\approx2{,}06\). El triángulo ocupa la mitad del paralelogramo; \(\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\). (1,5 puntos)
   3. Se multiplica el unitario por 6: \(\pm\dfrac{6}{\sqrt{17}}(-2,-2,-3)\). Comprobación: es paralelo a \(\vec u\times\vec v\) (perpendicular a ambos) y su módulo es \(\tfrac6{\sqrt{17}}\sqrt{17}=6\). Hay dos soluciones, de sentidos opuestos. (1,5 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(\begin{vmatrix}1&1&k\\2&k&1\\0&1&1\end{vmatrix}=1\cdot(k-1)-1\cdot(2-0)+k\cdot(2-0)=3 k - 3\). Se desarrolla el determinante por la primera fila. (1,5 puntos)
   2. Coplanarios si el producto mixto es cero: \(3k-3=0\), \(k=1\). Tres vectores son coplanarios cuando su producto mixto es nulo, es decir, cuando son linealmente dependientes; con \(k=1\) se comprueba que \(\vec b=2\vec a-\vec c\). (1 punto)
   3. Con \(k=3\): \([\vec a,\vec b,\vec c]=6\). Volumen del tetraedro: \(\tfrac16\cdot6=1\) unidad cúbica. Con \(k=3\): \(3\cdot3-3=6\). El paralelepípedo tiene volumen 6 y el tetraedro, la sexta parte. (1,5 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(\overrightarrow{AB}=(2,2,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,-1,3)\), \(\overrightarrow{AD}=(-1,2,2)\). Producto mixto: \(\begin{vmatrix}2&2&0\\1&-1&3\\-1&2&2\end{vmatrix}=2\cdot(-2-6)-2\cdot(2+3)+0=-16-10=-26\neq0\), luego no son coplanarios. Si el producto mixto fuera cero, los cuatro puntos estarían en un mismo plano.
   2. \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot3-0\cdot(-1),\ 0\cdot1-2\cdot3,\ 2\cdot(-1)-2\cdot1)=(6,-6,-4)\), de módulo \(\sqrt{36+36+16}=\sqrt{88}\). Área: \(\tfrac{\sqrt{88}}2=\sqrt{22}\approx4{,}69\). Se toma la mitad del módulo de \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\), porque el triángulo es medio paralelogramo. (1 punto)
   3. \(V=\tfrac16|-26|=\tfrac{13}3\approx4{,}33\) unidades cúbicas. Se toma la sexta parte del valor absoluto del producto mixto calculado en a). (1 punto)
   4. \(h=\dfrac{3V}{\text{área}(ABC)}=\dfrac{13}{\sqrt{22}}\approx2{,}77\). Se despeja la altura de \(V=\frac13\cdot\text{área de la base}\cdot h\). (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(\vec R=\vec F_1+\vec F_2=(10,30,30)\) N. \(|\vec R|=\sqrt{100+900+900}=\sqrt{1\,900}\approx43{,}59\) N. Se suman las componentes de las dos fuerzas. (1 punto)
   2. \(W=\vec R\cdot\vec d=60+240+0=300\) J. El trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento: \(10\cdot6+30\cdot8+30\cdot0\). (1 punto)
   3. \(|\vec d|=10\) m. \(\cos\alpha=\dfrac{300}{43{,}59\cdot10}\approx0{,}6882\), \(\alpha\approx46{,}5^\circ\). El módulo del desplazamiento: \(|\vec d|=\sqrt{36+64}=10\). (1 punto)
   4. La componente vertical \((0,0,30)\) es perpendicular a \(\vec d\) (su producto escalar es 0), así que no realiza trabajo: solo aligera el peso del trineo sobre la nieve. (1 punto)

Total : 20 puntos