Vectores en el espacio – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Para \(\vec u=(1,2,-1)\) y \(\vec v=(3,0,2)\): \(\vec u\cdot\vec v=3+0-2=1\), \(|\vec u|=\sqrt6\), \(|\vec v|=\sqrt{13}\), luego \(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{78}}\approx0{,}113\) y \(\alpha\approx83{,}5^\circ\).

Ejemplo 2

Con \(\vec u=(1,2,-1)\) y \(\vec v=(3,0,2)\): \(\vec u\times\vec v=(4-0,\ -3-2,\ 0-6)=(4,-5,-6)\). Su módulo \(\sqrt{16+25+36}=\sqrt{77}\) es el área del paralelogramo.

Ejemplo 3

Cuatro puntos \(A(1,0,0)\), \(B(2,1,0)\), \(C(1,2,1)\), \(D(0,1,3)\). \(\overrightarrow{AB}=(1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\), \(\overrightarrow{AD}=(-1,1,3)\). El determinante vale \(1(6-1)-1(0+1)+0=4\), así que el volumen del tetraedro es \(\tfrac46=\tfrac23\) u³ y los puntos no son coplanarios.

Ejemplo 4

Los vectores \(\vec u=(1,1,0)\), \(\vec v=(0,1,1)\) y \(\vec w=(1,0,1)\) forman una base porque \(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=2\neq0\). Para hallar las coordenadas de \(\vec t=(2,3,1)\) se resuelve \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec t\): \(a+c=2\), \(a+b=3\), \(b+c=1\). Sumando: \(a+b+c=3\), luego \(b=1\), \(c=0\), \(a=2\). Las coordenadas son \((2,1,0)\).

Ejemplo 5

¿Para qué valores de \(k\) son coplanarios \((1,2,3)\), \((0,1,k)\) y \((2,5,7)\)? \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&k\\2&5&7\end{vmatrix}=(7+4k+0)-(6+5k+0)=1-k\). Son coplanarios si \(k=1\), y en ese caso \((2,5,7)=2(1,2,3)+(0,1,1)\).

Ejemplo 6

En el cubo de arista 1, el ángulo entre la diagonal \((1,1,1)\) y una arista \((1,0,0)\) cumple \(\cos\alpha=\tfrac1{\sqrt3}\), de modo que \(\alpha\approx54{,}7^\circ\).

Ejemplo 7

Un tejado tiene una placa rectangular de lados \(\vec u=(2,0,0)\) y \(\vec v=(0;\,1{,}2;\,0{,}9)\) metros. Halla su inclinación respecto del suelo.

El vector normal a la placa es \(\vec u\times\vec v=(0;\,-1{,}8;\,2{,}4)\), de módulo 3. La inclinación de la placa respecto del suelo es igual al ángulo entre su normal y la vertical \((0,0,1)\): el coseno vale \(2{,}4/3=0{,}8\) y el ángulo es de unos 36,9 grados. Observa que no ha hecho falta dibujar el tejado: basta con dos vectores de la placa.

Ejemplo 8

Una mecánica aplica la fuerza \(\vec F=(0,40,-30)\) N en el extremo de una llave \(\vec r=(0{,}3;\,0;\,0)\) m. ¿Cuánto vale el momento?

El momento es \(\vec r\times\vec F=(0,9,12)\), de módulo 15 N·m. Si la fuerza tuviera una componente a lo largo de la llave, esa parte no cambiaría el momento, porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo. Por eso, para aflojar una tuerca, hay que empujar perpendicularmente a la llave y lo más lejos posible de la tuerca.

Ejemplo 9

Halla las coordenadas de \(\vec p=(3,2,3)\) en la base \(\{(1,0,2),(2,1,0),(0,1,1)\}\).

Se busca \(\vec p=\alpha(1,0,2)+\beta(2,1,0)+\gamma(0,1,1)\). Igualando componentes queda el sistema \(\alpha+2\beta=3\), \(\beta+\gamma=2\), \(2\alpha+\gamma=3\). Despejando y sustituyendo se obtiene \(\beta=1\), \(\alpha=1\) y \(\gamma=1\), de modo que las coordenadas son \((1,1,1)\). Siempre conviene comprobar sumando los tres vectores.