Rectas y planos – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedades: ecuaciones de la recta

• Vectorial: \((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(u_1,u_2,u_3)\).
• Paramétricas: \(x=x_0+\lambda u_1,\ y=y_0+\lambda u_2,\ z=z_0+\lambda u_3\).
• Continua: \(\dfrac{x-x_0}{u_1}=\dfrac{y-y_0}{u_2}=\dfrac{z-z_0}{u_3}\) (si alguna componente es 0, el numerador correspondiente se iguala a 0).
• Implícitas: dos ecuaciones de planos, \(\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\). Su vector director es el producto vectorial de los vectores normales.

Propiedades: ecuaciones del plano

• Vectorial: \((x,y,z)=P+\lambda\vec u+\mu\vec v\). Paramétricas: una ecuación por coordenada.
• General o implícita: \(Ax+By+Cz+D=0\). El vector \(\vec n=(A,B,C)\) es normal (perpendicular) al plano. Se obtiene con \(\vec n=\vec u\times\vec v\) y \(D\) imponiendo que pasa por \(P\); o bien \(\begin{vmatrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\).

Propiedades: posición relativa de dos rectas

• Si \(\vec u\) y \(\vec v\) son proporcionales: paralelas si \(\vec w\) no es proporcional a ellos; coincidentes si lo es.
• Si \(\vec u,\vec v\) no son proporcionales: \([\vec u,\vec v,\vec w]=0\Rightarrow\) se cortan en un punto; \([\vec u,\vec v,\vec w]\neq0\Rightarrow\) se cruzan (no están en un mismo plano).

Propiedad: cómo se elige la ecuación más útil

Las distintas ecuaciones de una recta dicen lo mismo, pero cada una sirve para una cosa. Las paramétricas son las mejores para calcular puntos y para cortar con un plano, porque basta sustituir y despejar el parámetro. La continua permite leer de un vistazo un punto y el vector director. Las implícitas, como intersección de dos planos, son las adecuadas cuando la recta aparece al resolver un sistema o cuando hay que formar un haz de planos. Con los planos ocurre algo parecido: la ecuación general muestra el vector normal, mientras que la ecuación segmentaria muestra los puntos de corte con los ejes y facilita dibujarlo.

Propiedad: tres planos y el teorema de Rouché-Frobenius

Tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada valen 3, se cortan en un punto. Si los dos rangos valen 2, los tres planos comparten una recta: forman un haz, o dos coinciden y el tercero los corta. Si los dos valen 1, los tres planos coinciden. Si el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la ampliada es 3, no hay punto común: o dos planos son paralelos y el tercero los corta, o los tres se cortan dos a dos en rectas paralelas, como las caras de un prisma triangular. Para distinguir estos dos casos se comparan los vectores normales de dos en dos.