Derivabilidad – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

\(f(x)=\begin{cases}x^2&x\le1\\2x-1&x>1\end{cases}\). Continua en 1: \(1=1\). Derivadas: por la izquierda \(2x=2\); por la derecha \(2\). Coinciden: \(f\) es derivable en 1 con \(f'(1)=2\).

Ejemplo 2

\(f(x)=\begin{cases}ax^2+b&x\le1\\\frac1x&x>1\end{cases}\) derivable en 1. Continuidad: \(a+b=1\). Derivabilidad: \(2a=-1\). Así \(a=-\tfrac12\) y \(b=\tfrac32\).

Ejemplo 3

\(f(x)=x^3\) en \([0,2]\): \(\frac{f(2)-f(0)}{2}=4\) y \(f'(c)=3c^2=4\Rightarrow c=\frac{2}{\sqrt3}\approx1{,}15\in(0,2)\).

Ejemplo 4

\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\): \(\frac00\). \(\to\lim\frac{e^x-1}{2x}\) (\(\frac00\)) \(\to\lim\frac{e^x}{2}=\frac12\).

Ejemplo 5

\(\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim\frac{\ln x}{1/x}\) (\(\frac{-\infty}{\infty}\)) \(=\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)=0\).

Ejemplo 6

\(\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}=e^{L}\) con \(L=\lim\frac{\ln\cos x}{x^2}=\lim\frac{-\tan x}{2x}=-\frac12\). Resultado \(e^{-1/2}\).

Ejemplo 7

Para \(f(x)=x^3-2x\) en \(a=1\): \(f(1)=-1\), \(f'(x)=3x^2-2\), \(f'(1)=1\). Tangente: \(y+1=x-1\Rightarrow y=x-2\). Normal: \(y+1=-(x-1)\Rightarrow y=-x\).

Ejemplo 8

¿Para qué valor de \(k\) cumple Rolle \(f(x)=x^2+kx\) en \([0,2]\)? Hace falta \(f(0)=f(2)\): \(0=4+2k\Rightarrow k=-2\). Entonces \(f'(x)=2x-2=0\Rightarrow c=1\).

Ejemplo 9

Un ingeniero une la recta \(y=0\) y la recta \(y=x-1\) con una curva \(y=ax^2+bx^3\) entre \(x=0\) y \(x=2\). ¿Qué curva consigue un enlace suave?

En \(x=0\) la curva vale 0 y su derivada también, así que el empalme es suave sin condiciones. En \(x=2\) la continuidad exige \(4a+8b=1\) y la derivabilidad exige \(4a+12b=1\). Restando, \(b=0\) y \(a=\tfrac14\): la curva es la parábola \(y=\tfrac14x^2\). Así trazan los ingenieros las transiciones entre tramos rectos y curvos de carreteras y vías de tren, aunque en la práctica usan curvas más elaboradas llamadas clotoides.

Ejemplo 10

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \(x^3+3x-5=0\)?

La función \(g(x)=x^3+3x-5\) es continua, \(g(1)=-1\) y \(g(2)=9\), así que por Bolzano hay al menos una raíz entre 1 y 2. Su derivada, \(3x^2+3\), es siempre positiva y no se anula nunca. Si hubiera dos raíces, por Rolle la derivada se anularía entre ellas, lo que es imposible. La ecuación tiene exactamente una solución.

Ejemplo 11

Calcula \(\displaystyle\lim_{k\to0}\dfrac{9{,}8}{k}\left(1-e^{-kt}\right)\).

Es una indeterminación del tipo cero entre cero en la variable \(k\). Al derivar el numerador y el denominador respecto de \(k\) se obtiene \(9{,}8\,te^{-kt}\) entre 1, que tiende a \(9{,}8t\). El modelo de un paracaidista con rozamiento se convierte en la caída libre cuando el rozamiento desaparece, lo cual confirma que el modelo es coherente.