Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. In der Einführungsphase betrachtest du vor allem Systeme mit drei Gleichungen und drei Variablen \(x\), \(y\), \(z\). Die Lösungsmenge enthält alle Zahlentripel, die jede Gleichung erfüllen. Solche Systeme treten bei Preisaufgaben, Mischungen, Zahlenrätseln und beim Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Punkten auf.

Wiederholung: Zwei Gleichungen, zwei Variablen

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt sie in die andere ein. Beim Additionsverfahren addierst du Vielfache der Gleichungen so, dass eine Variable verschwindet. Beispiel: \(3x+2y=12\) und \(x-2y=4\). Die Addition ergibt \(4x=16\), also \(x=4\) und \(y=0\).

Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Das Gauß-Verfahren bringt ein System in eine Stufenform, aus der du die Lösung von unten nach oben ablesen kannst. Erlaubte Umformungen sind: Gleichungen vertauschen, eine Gleichung mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren. Sie verändern die Lösungsmenge nicht.

Beispiel 1. Gegeben ist \[\begin{array}{lrcl}\text{I}&x+y+z&=&6\\\text{II}&2x-y+z&=&3\\\text{III}&x+2y-z&=&2\end{array}\] Schritt 1: Eliminiere \(x\) aus II und III. \(\text{II}-2\cdot\text{I}\): \(-3y-z=-9\). \(\text{III}-\text{I}\): \(y-2z=-4\). Schritt 2: Eliminiere \(y\) aus der dritten Gleichung. Rechne \(3\cdot(y-2z=-4)+(-3y-z=-9)\): \(-7z=-21\), also \(z=3\). Schritt 3: Rückwärts einsetzen. \(y-2\cdot3=-4\Rightarrow y=2\). \(x+2+3=6\Rightarrow x=1\). Lösung: \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\), also \(L=\{(1\,|\,2\,|\,3)\}\). Probe in allen drei Gleichungen: \(1+2+3=6\), \(2-2+3=3\), \(1+4-3=2\).

Drei Fälle für die Lösungsmenge

• Genau eine Lösung: Die Stufenform hat in jeder Zeile eine neue Variable (wie im Beispiel 1).
• Keine Lösung: Es entsteht ein Widerspruch wie \(0=5\). Beispiel: \(x+y+z=1\), \(2x+2y+2z=5\), \(x-y=0\). Verdoppelt man die erste Gleichung, erhält man \(2x+2y+2z=2\), im Widerspruch zu 5. \(L=\{\}\).
• Unendlich viele Lösungen: Eine Zeile wird zu \(0=0\). Dann wählst du eine Variable als Parameter. Beispiel: \(x+y+z=3\), \(x-y+z=1\), \(2x+2z=4\). Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt \(2x+2z=4\), die dritte Gleichung enthält keine neue Information. Aus der Differenz folgt \(2y=2\), also \(y=1\). Mit \(z=t\) gilt \(x=2-t\). \(L=\{(2-t\,|\,1\,|\,t)\mid t\in\mathbb{R}\}\).

Anwendung: Funktionsgleichung aus Punkten

Eine Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\) soll durch \((0\,|\,1)\), \((1\,|\,0)\) und \((2\,|\,3)\) gehen. Einsetzen ergibt: \(c=1\); \(a+b+c=0\); \(4a+2b+c=3\). Mit \(c=1\) bleiben \(a+b=-1\) und \(4a+2b=2\). Die zweite Gleichung halbiert, ergibt \(2a+b=1\). Subtraktion: \(a=2\), dann \(b=-3\). Die Parabel ist \(f(x)=2x^2-3x+1\).

Anwendung: Sachaufgaben

Gehe in vier Schritten vor: Unbekannte festlegen, Gleichungen aus dem Text aufstellen, System lösen, Antwort mit Einheit formulieren. Beispiel: Zwei Erwachsene und drei Kinder zahlen 27 €, drei Erwachsene und zwei Kinder zahlen 28 €. Aus \(2E+3K=27\) und \(3E+2K=28\) folgt durch Multiplikation mit 3 und 2 und Subtraktion \(5K=25\), also \(K=5\) und \(E=6\). Ein Erwachsenenticket kostet 6 €, ein Kinderticket 5 €.

Systeme mit Parameter

Bei Systemen mit einem Parameter \(a\) fragt man, wie viele Lösungen es je nach \(a\) gibt. Beispiel: \(x+y=5\) und \(2x+ay=10\). Die zweite Gleichung minus das Doppelte der ersten ergibt \((a-2)y=0\). Für \(a\ne2\) folgt \(y=0\) und \(x=5\): genau eine Lösung. Für \(a=2\) entsteht \(0=0\): unendlich viele Lösungen.

Geometrische Deutung

Jede Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade in der Ebene, und die Lösung eines Systems ist der Schnittpunkt. Bei keinem Schnittpunkt sind die Geraden parallel, bei unendlich vielen Lösungen fallen sie zusammen. Mit drei Variablen beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum. Die Lösung ist dann der gemeinsame Punkt der drei Ebenen. Diese Deutung hilft dir später in der analytischen Geometrie, Lagebeziehungen zu verstehen.

Häufige Fehler

• Beim Subtrahieren von Gleichungen das Vorzeichen nur bei einem Summanden ändern; auch die rechte Seite muss mitgerechnet werden.
• Nur eine Gleichung der Probe prüfen; die Lösung muss in allen Gleichungen stimmen.
• Bei \(0=0\) wird fälschlich „keine Lösung“ notiert; richtig sind unendlich viele Lösungen.
• Bei Sachaufgaben die Unbekannten nicht definieren und im Antwortsatz keine Einheit schreiben.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Beginne immer mit der Gleichung, die die einfachsten Koeffizienten hat, und achte beim Eliminieren darauf, jede Zeile sauber zu beschriften, zum Beispiel \(\text{II}-2\cdot\text{I}\). So findest du Fehler schnell und bekommst in der Klausur auch bei einem Rechenfehler Punkte für das richtige Vorgehen.

Zusammenfassung

Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme systematisch: Variablen schrittweise eliminieren, Stufenform herstellen, rückwärts einsetzen. Die Lösungsmenge kann aus genau einem Tripel, aus keinem oder aus unendlich vielen bestehen. Die Methode ist die Grundlage für viele spätere Aufgaben, etwa die Bestimmung von Funktionsgleichungen und die Untersuchung der Lage von Geraden und Ebenen im Raum.

Vom Gleichungssystem zur Koeffizientenmatrix

Zur Schreibersparnis lässt man die Variablen weg und notiert nur die Koeffizienten. Das Beispiel 1 sieht dann so aus: \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right)\). Die Umformungen werden dann an den Zeilen durchgeführt. Das ist übersichtlicher und weniger fehleranfällig, besonders bei vielen Variablen. In der Qualifikationsphase begegnet dir diese Schreibweise wieder, dort mit Taschenrechnerunterstützung.