Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Löse die Systeme mit dem Einsetzungsverfahren. Mache jeweils die Probe.

a) \(y=2x-1\) und \(x+y=8\)
b) \(x=3y\) und \(2x-y=10\)
c) \(y=x+4\) und \(3x+2y=23\)

Löse die Systeme mit dem Additionsverfahren.

a) \(3x+2y=12\) und \(x-2y=4\)
b) \(2x+y=7\) und \(x-y=2\)
c) \(5x+3y=19\) und \(2x-y=3\)

Zwei Geraden sind gegeben. Bestimme ihren Schnittpunkt.

a) \(g:\;y=2x+1\) und \(h:\;y=-x+7\)
b) \(g:\;y=3x-2\) und \(h:\;y=-x+6\)

Bestimme die Lösungsmenge und deute geometrisch.

a) \(x+y=3\) und \(2x+2y=8\)
b) \(x+y=3\) und \(2x+2y=6\)
c) \(x+y=3\) und \(x-y=1\)

Löse das System \(x+y+z=6\), \(2x-y+z=3\), \(x+2y-z=2\) mit dem Gauß-Verfahren.

a) Eliminiere \(x\) aus der zweiten und dritten Gleichung.
b) Löse das entstehende \(2\times2\)-System.
c) Bestimme \(x\) und gib die Lösungsmenge an.
d) Mache die Probe in der dritten Gleichung.

Löse \(x+2y+z=3\), \(2x-y+z=8\), \(x+y-z=-2\).

a) Eliminiere \(z\) mit (I) und (III) bzw. (II) und (III).
b) Löse das \(2\times2\)-System.
c) Bestimme die dritte Unbekannte.
d) Probe.

Löse \(y+z=5\), \(x+y+z=6\), \(2x+y=4\). Beginne mit einer geschickten Reihenfolge.

a) Welche Gleichung enthält kein \(x\)? Wo steht sie am besten?
b) Eliminiere \(z\).
c) Bestimme alle Unbekannten.
d) Probe.

Löse \(x+y+z=3\), \(x-y=1\), \(2x+z=4\).

a) Drücke \(y\) und \(z\) durch \(x\) aus.
b) Setze in die dritte Gleichung ein. Was fällt auf?
c) Gib die Lösungsmenge mit einem Parameter an.
d) Gib zwei konkrete Lösungen an.

Zeige, dass das System \(x+y=2\), \(y+z=3\), \(x-z=1\) keine Lösung hat.

a) Subtrahiere (II) von (I).
b) Vergleiche mit (III).
c) Formuliere die Folgerung.

Die Punkte \(A(1\,|\,2)\), \(B(2\,|\,3)\) und \(C(3\,|\,6)\) liegen auf einer Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\).

a) Stelle das LGS auf.
b) Löse es mit dem Gauß-Verfahren.
c) Gib die Funktion an und prüfe mit \(C\).
d) Berechne den Scheitel.

Eine Parabel hat den Scheitel \(S(2\,|\,-1)\) und geht durch \(P(0\,|\,3)\).

a) Welche Bedingungen gelten für \(f(x)=ax^2+bx+c\)?
b) Stelle das LGS auf.
c) Löse es.
d) Gib die Scheitelform an.

In der Schulkantine sollen \(60\) Liter Saftschorle mit \(25\,\%\) Fruchtanteil gemischt werden. Zur Verfügung stehen ein Saft mit \(40\,\%\) und einer mit \(10\,\%\) Fruchtanteil.

a) Stelle zwei Gleichungen auf (\(x\): Liter vom starken Saft, \(y\): vom schwachen).
b) Löse das System.
c) Wie viel reine Frucht enthält die Mischung?
d) Wie ändert sich die Lösung, wenn die Mischung \(30\,\%\) haben soll?

Im Kino wurden an einem Nachmittag \(120\) Karten verkauft. Eine Erwachsenenkarte kostet \(9\,€\), eine Kinderkarte \(6\,€\). Die Einnahmen betrugen \(840\,€\).

a) Stelle das Gleichungssystem auf.
b) Löse es.
c) Wie viele Karten wurden jeweils verkauft?
d) Wie ändern sich die Einnahmen, wenn \(10\) Erwachsenenkarten weniger und \(10\) Kinderkarten mehr verkauft worden wären?

Herr Meier ist dreimal so alt wie sein Sohn Jonas. In \(12\) Jahren wird er nur noch doppelt so alt sein.

a) Stelle zwei Gleichungen auf.
b) Löse das System.
c) Wie alt sind beide heute?
d) Prüfe die Aussage am Text.

Anna fährt um 9:00 Uhr mit \(15\) km/h von der Jugendherberge zum See. Ben fährt um 9:30 Uhr mit \(20\) km/h die gleiche Strecke.

a) Stelle die Weg-Zeit-Funktionen auf (\(t\) in Stunden nach 9:00).
b) Setze gleich und bestimme den Zeitpunkt.
c) Wie weit sind beide dann gefahren?
d) Wann hat Anna einen Vorsprung von \(5\) km?

In der Schulkantine kaufen drei Schüler unterschiedliche Kombinationen. Sei \(x\) der Preis eines Brötchens, \(y\) der eines Getränks, \(z\) der eines Obststücks (in Euro).

a) Stelle das Gleichungssystem auf.
b) Löse es mit dem Gauß-Verfahren.
c) Wie viel kostet ein Frühstück aus je einem Brötchen, Getränk und Obst?
d) Wie viel zahlt eine Gruppe von \(5\) Schülern, die je ein Brötchen und ein Getränk kaufen?

Gegeben ist das System \(a\,x+y=1\), \(x+a\,y=1\) mit einem Parameter \(a\).

a) Löse das System für \(a=2\).
b) Für welche \(a\) gibt es unendlich viele Lösungen?
c) Für welche \(a\) gibt es keine Lösung?
d) Gib die Lösung für beliebiges \(a\neq\pm1\) an.

Die Geraden \(g:\;y=2x+1\) und \(h:\;y=-x+7\) schneiden sich und begrenzen mit der \(y\)-Achse ein Dreieck.

a) Berechne den Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(h\).
b) Bestimme die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse.
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
d) Liegt der Punkt \(P(3\,|\,4)\) auf \(h\)?

Das System \(x+2y=5\), \(3x+4y=11\) soll in Matrixschreibweise gelöst werden.

a) Schreibe die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
b) Subtrahiere das Dreifache der ersten Zeile von der zweiten.
c) Lies die Lösung ab.

Löse \(x+y+z=6\) und \(x-y=0\).

a) Warum kann die Lösung nicht eindeutig sein?
b) Drücke \(y\) und \(z\) durch \(x\) aus.
c) Gib die Lösungsmenge mit \(x=t\) an.
d) Gib die Lösung für \(t=1\) an und prüfe.

Eine Funktion \(f(x)=ax^3+bx\) geht durch \(P(1\,|\,-3)\) und hat bei \(x=2\) eine Nullstelle.

a) Stelle das LGS für \(a\) und \(b\) auf.
b) Löse es.
c) Gib alle Nullstellen von \(f\) an.

Die Summe zweier Zahlen ist \(20\), ihre Differenz \(6\). Außerdem soll das Produkt der beiden Zahlen größer als \(90\) sein.

a) Stelle das LGS auf und löse es.
b) Berechne das Produkt.
c) Ist die Bedingung erfüllt?