Vektoren und Geometrie im Raum – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Punkte und Vektoren im Raum

Im räumlichen Koordinatensystem wird ein Punkt durch drei Koordinaten angegeben: \(P(x\,|\,y\,|\,z)\). Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung, also eine Richtung mit einer Länge. Man schreibt ihn als Spalte, zum Beispiel \(\vec a=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}\). Vektoren, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen, sind gleich. Der Ortsvektor \(\vec p\) eines Punktes \(P\) zeigt vom Ursprung zu \(P\) und hat dieselben Koordinaten wie \(P\).

Verbindungsvektor

Der Vektor von \(A\) nach \(B\) ist \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\), also „Spitze minus Fuß“. Beispiel: \(A(1\,|\,2\,|\,3)\) und \(B(4\,|\,0\,|\,5)\) ergeben \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}\). In der Ebene hast du nur zwei Koordinaten, der Rest bleibt gleich.

Rechnen mit Vektoren

• Addition und Subtraktion komponentenweise: \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}\).
• Skalarmultiplikation (S-Multiplikation): \(3\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}\). Ein negativer Faktor kehrt die Richtung um.
• Zwei Vektoren sind parallel (kollinear), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: \(\vec a=k\cdot\vec b\). Beispiel: \(\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\).

Länge eines Vektors

Der Betrag (die Länge) von \(\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) ist \(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). Das folgt aus dem Satz des Pythagoras, zweimal angewandt. Beispiele: \(|\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}|=\sqrt{17}\) und \(|\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}|=\sqrt{4+9+36}=7\). Der Abstand zweier Punkte \(A\), \(B\) ist \(|\overrightarrow{AB}|\). Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Du erhältst ihn durch \(\frac{1}{|\vec a|}\cdot\vec a\). Für \(\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) ist \(|\vec a|=5\) und der Einheitsvektor \(\begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}\).

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt von \(A\) und \(B\) hat den Ortsvektor \(\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)\). Beispiel: \(A(2\,|\,-4\,|\,6)\) und \(B(8\,|\,2\,|\,0)\) ergeben \(M(5\,|\,-1\,|\,3)\).

Parallelogramm

Ein Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm, wenn \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) gilt. Daraus erhältst du die vierte Ecke: \(\vec d=\vec c-\overrightarrow{AB}\). In der Abbildung ist \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\). Die Diagonalen halbieren sich: Die Mitte von \(AC\) ist \((3{,}5\,|\,3)\), ebenso die Mitte von \(BD\).

Geraden

Eine Gerade durch den Punkt \(A\) mit der Richtung \(\vec u\) hat die Parametergleichung \(g:\ \vec x=\vec a+t\cdot\vec u\) mit \(t\in\mathbb{R}\). Der Vektor \(\vec a\) heißt Stützvektor, \(\vec u\) Richtungsvektor. Durch zwei Punkte \(A\) und \(B\) legst du \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) fest. Beispiel: \(A(1\,|\,2\,|\,0)\), \(B(3\,|\,6\,|\,4)\) ergeben \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\).

Punktprobe: Ein Punkt \(P\) liegt auf \(g\), wenn es ein \(t\) gibt, das alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Für \(P(5\,|\,10\,|\,8)\): \(1+2t=5\Rightarrow t=2\); \(2+4t=10\) stimmt für \(t=2\); \(4t=8\) stimmt ebenfalls. \(P\) liegt auf \(g\). Für \(R(3\,|\,6\,|\,3)\) ergibt die erste Gleichung \(t=1\), die dritte \(4t=3\) widerspricht: \(R\) liegt nicht auf \(g\).

Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene

Für \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\) setzt du gleich: \(t=4-s\) und \(1+2t=s\). Einsetzen ergibt \(1+8-2s=s\), also \(s=3\) und \(t=1\). Der Schnittpunkt ist \(S(1\,|\,3)\). Probe: Beide Parameter führen auf denselben Punkt.

Vektoren in der Ebene und im Raum

Alle Rechenregeln gelten in der Ebene genauso wie im Raum, nur dass dort eine Koordinate fehlt. Viele Aufgaben lassen sich deshalb zuerst in der Ebene üben und dann auf den Raum übertragen. Wichtig ist, dass du jede Komponente einzeln behandelst und die Reihenfolge der Koordinaten nie vertauschst. Bei Anwendungsaufgaben, etwa der Flugbahn einer Drohne oder dem Verlauf einer Seilbahn, wählst du das Koordinatensystem so, dass der Startpunkt im Ursprung liegt und die Einheit ein Meter ist. Dann lassen sich Weglängen und Abstände direkt mit der Längenformel berechnen.

Häufige Fehler

• Verbindungsvektor falsch herum: \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\), nicht \(\vec a-\vec b\).
• Bei der Länge die Quadrate der Koordinaten vergessen oder die Wurzel weglassen.
• Bei der Punktprobe nur zwei der drei Gleichungen prüfen.
• Bei der Parallelität nur eine Komponente vergleichen, statt alle drei mit demselben Faktor \(k\).
• Die Vektoren als Punkte schreiben: Punkte haben runde Klammern mit Trennstrichen, Vektoren Spalten.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Skizziere ein Schrägbild oder zumindest die Ebene und trage die Punkte ein, bevor du rechnest. Beschrifte den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) mit einem Pfeil von \(A\) nach \(B\). Das verhindert Vorzeichenfehler, und du erkennst sofort, ob dein Ergebnis plausibel ist.

Zusammenfassung

Vektoren beschreiben Verschiebungen, Richtungen und Abstände im Raum. Du berechnest Verbindungsvektoren, Längen, Mittelpunkte und Parallelogramme und beschreibst Geraden mit Parametergleichungen. Damit schaffst du die Grundlage für die analytische Geometrie in der Qualifikationsphase, wo Ebenen, Winkel und Abstände folgen. Mit der Punktprobe prüfst du Lagebeziehungen von Punkt und Gerade.

Würfel und Quader im Koordinatensystem

Quader und Würfel lassen sich einfach in Koordinaten beschreiben. Hat ein Quader die Kantenlängen \(a\), \(b\), \(c\) und liegt eine Ecke im Ursprung, so ist die gegenüberliegende Ecke \(G(a\,|\,b\,|\,c)\). Die Raumdiagonale hat die Länge \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), beim Würfel mit Kante \(a\) also \(a\sqrt3\). Für \(a=4\) ergibt sich \(4\sqrt3\approx6{,}93\).