Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

← Zurück zur Klassenarbeit

1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Da in Gleichung (II) \(x\) ohne Vorfaktor steht, eignet sich das Einsetzungsverfahren. Aus \(x-y=1\) folgt \(x=y+1\) (1 P.). Eingesetzt in (I): \(2(y+1)+3y=12\), also \(2y+2+3y=12\), \(5y=10\) und \(y=2\) (1 P.). Rückeinsetzen: \(x=2+1=3\). Lösung: \((3|2)\) (1 P.).
   b) Probe in beiden Ausgangsgleichungen: (I) \(2\cdot3+3\cdot2=6+6=12\), wahr; (II) \(3-2=1\), wahr (1 P.). Geometrisch schneiden sich die beiden Geraden \(y=4-\frac23x\) und \(y=x-1\) im Punkt \((3|2)\). Alternativ mit dem Additionsverfahren: (I) plus \(3\cdot\)(II) ergibt \(5x=15\), also ebenfalls \(x=3\). Antwort: \(L=\{(3|2)\}\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (6 BE/Punkte)

   a) Ziel ist, eine Variable aus zwei Gleichungen zu entfernen. \(z\) hat in (I) und (III) die Koeffizienten \(+1\) und \(-1\): Addition (I)\(+\)(III) ergibt \(2x+4y=16\) (IV). In (I) und (II) hat \(z\) jeweils \(+1\): Subtraktion (I)\(-\)(II) ergibt \(-x+2y=4\) (V) (2 P.).
   b) Aus (V) folgt \(x=2y-4\). In (IV) eingesetzt: \(2(2y-4)+4y=16\), \(8y-8=16\), \(y=3\); dann \(x=2\cdot3-4=2\) (2 P.). Aus (I): \(z=9-2-3=4\). Lösung \((2|3|4)\) (1 P.).
   c) Probe in den Gleichungen, die nicht zur Berechnung von \(z\) benutzt wurden: (II) \(2\cdot2-3+4=5\), wahr; (III) \(2+3\cdot3-4=7\), wahr (1 P.). Die Lösung ist eindeutig; geometrisch schneiden sich drei Ebenen in genau einem Punkt.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Jeder Punkt liefert eine Gleichung, indem man seine Koordinaten in \(f(x)=ax^2+bx+c\) einsetzt. \(A(0|1)\): \(c=1\). \(B(1|0)\): \(a+b+c=0\), mit \(c=1\) also \(a+b=-1\). \(C(2|1)\): \(4a+2b+c=1\), also \(4a+2b=0\) bzw. \(2a+b=0\) (2 P.). Subtraktion der beiden Gleichungen: \((2a+b)-(a+b)=0-(-1)\), also \(a=1\); damit \(b=-2\) (1 P.).
   b) \(f(x)=x^2-2x+1\). Das ist die zweite binomische Formel: \(f(x)=(x-1)^2\), der Scheitel liegt bei \(S(1|0)\) (1 P.). Weil der Scheitel auf der \(x\)-Achse liegt, ist \(x=1\) eine doppelte Nullstelle und \(B\) der Berührpunkt mit der Achse. Probe: \(f(0)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=1\); alle drei Punkte liegen auf der Parabel.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Variablen festlegen: \(x\) Anzahl der Erwachsenenkarten, \(y\) Anzahl der Schülerkarten. Kartenzahl: \(x+y=80\) (I). Einnahmen: \(5x+3y=340\) (II) (2 P.).
   b) Aus (I) folgt \(y=80-x\). Eingesetzt in (II): \(5x+3(80-x)=340\), also \(5x+240-3x=340\), \(2x=100\), \(x=50\); dann \(y=80-50=30\) (1 P.). Probe: \(50+30=80\) Karten und \(5\cdot50+3\cdot30=250+90=340\) € (1 P.). Antwort: Es wurden \(50\) Karten für Erwachsene und \(30\) Karten für Schüler verkauft. Überschlag zur Kontrolle: Hätten alle \(80\) Besucher den Schülerpreis bezahlt, wären es \(240\) €; die fehlenden \(100\) € stammen aus den \(2\) € Aufpreis je Erwachsenenkarte, also \(50\) Erwachsene.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (2 BE/Punkte)

   Man multipliziert (II) mit \(2\): \(2x+4y=2c\). Die linke Seite stimmt dann mit (I) überein. Subtraktion (I)\(-2\cdot\)(II) ergibt \(0=6-2c\) (1 P.).
   Fall \(c=3\): Es entsteht die wahre Aussage \(0=0\). Beide Gleichungen sind Vielfache voneinander und beschreiben dieselbe Gerade \(y=\frac{3-x}{2}\). Jeder Punkt dieser Geraden ist Lösung, es gibt unendlich viele, etwa \((3|0)\) oder \((1|1)\).
   Fall \(c\ne3\): Es entsteht ein Widerspruch wie \(0=4\) für \(c=1\). Die Geraden haben dieselbe Steigung \(-\frac12\), aber verschiedene Achsenabschnitte; sie sind echt parallel und schneiden sich nie, das System hat keine Lösung (1 P.). Eine eindeutige Lösung ist für kein \(c\) möglich.

Gesamt : 20 Punkte