Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Mehrstufige Zufallsexperimente

Viele Zufallsexperimente bestehen aus mehreren Schritten, zum Beispiel zweimal Ziehen aus einer Urne oder dreimal Werfen einer Münze. Du stellst sie in einem Baumdiagramm dar. Jeder Pfad ist ein Ergebnis. Es gelten die Pfadregeln:

• Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
• Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

Beispiel 1 (ohne Zurücklegen). Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Dann ist \(P(rr)=\frac58\cdot\frac47=\frac5{14}\), \(P(rb)=\frac58\cdot\frac37=\frac{15}{56}\), \(P(br)=\frac38\cdot\frac57=\frac{15}{56}\) und \(P(bb)=\frac38\cdot\frac27=\frac3{28}\). Die Summe ist 1. Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln ist \(\frac5{14}+\frac3{28}=\frac{13}{28}\).

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Oft kennst du schon etwas über den Ausgang. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung \(A\) ist \[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\qquad(P(A)>0).\] Sie gibt an, wie wahrscheinlich \(B\) ist, wenn man weiß, dass \(A\) eingetreten ist. Umgestellt ergibt sich die Produktregel \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\). Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den zweiten Ästen.

Beispiel 2. Würfel mit \(A\): „gerade Zahl“ und \(B\): „größer als 3“. Es gilt \(P(A)=\frac12\), \(A\cap B=\{4;6\}\), also \(P(A\cap B)=\frac13\). Dann \(P_A(B)=\frac{1/3}{1/2}=\frac23\).

Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel ordnet die Wahrscheinlichkeiten von \(A\), \(\bar A\), \(B\), \(\bar B\) und ihren Schnitten in einer Tabelle. Aus drei Angaben lassen sich alle anderen Werte ergänzen, weil Zeilen- und Spaltensummen stimmen müssen.

Beispiel 3. Gegeben: \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}3\).

Daraus: \(P_A(B)=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5\) und \(P_B(A)=\frac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75\).

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen unabhängig, wenn \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gilt. Gleichwertig: \(P_A(B)=P(B)\), das Wissen über \(A\) ändert die Wahrscheinlichkeit von \(B\) nicht. Im Beispiel 3 gilt \(0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24\ne0{,}3\): Die Ereignisse sind abhängig. Beim Würfel sind \(A=\{1;2\}\) und \(B=\)„gerade“ unabhängig, denn \(P(A\cap B)=\frac16=\frac13\cdot\frac12\). Sind \(A\) und \(B\) unabhängig, dann auch \(A\) und \(\bar B\), denn \(P(A\cap\bar B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\,P(\bar B)\). Ziehen mit Zurücklegen liefert unabhängige Stufen.

Umkehrung der Bedingung

Manchmal ist \(P_A(B)\) bekannt, gesucht ist aber \(P_B(A)\). Dann hilft die Vierfeldertafel oder das umgekehrte Baumdiagramm. Man berechnet zuerst \(P(A\cap B)\) und \(P(B)\) und dividiert.

Beispiel 4 (medizinischer Test). Eine Krankheit betrifft 2 % der Bevölkerung. Der Test erkennt Kranke zu 95 % und Gesunde fehlerfrei zu 90 %. Es gilt \(P(\text{positiv})=0{,}02\cdot0{,}95+0{,}98\cdot0{,}10=0{,}019+0{,}098=0{,}117\). Die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test wirklich krank zu sein, beträgt \(\frac{0{,}019}{0{,}117}\approx0{,}162\), also nur etwa 16 %. Das überrascht viele, weil Gesunde so viel häufiger sind. Anschaulich: Bei 10 000 Personen sind 190 richtig positiv und 980 falsch positiv.

Baumdiagramm oder Vierfeldertafel?

Beide Darstellungen enthalten dieselbe Information, eignen sich aber für unterschiedliche Situationen. Das Baumdiagramm passt zu zeitlich geordneten Vorgängen mit mehreren Stufen, etwa zwei Ziehungen nacheinander oder einem Test nach einer Krankheit. Die Vierfeldertafel ist bei zwei Merkmalen praktisch, etwa Geschlecht und Rauchen. Zum Umkehren einer Bedingung ist sie besonders übersichtlich, weil alle Schnittwahrscheinlichkeiten in den Feldern stehen. Wähle die Darstellung, die zur Aufgabe passt, und wechsle ruhig zwischen beiden, wenn es hilft.

Ein Tipp für Aufgaben mit absoluten Zahlen: Stelle dir eine Gruppe von 1000 oder 10 000 Personen vor und rechne mit ganzen Zahlen. Dadurch werden bedingte Wahrscheinlichkeiten anschaulich, und typische Denkfehler wie die Verwechslung von \(P_A(B)\) mit \(P_B(A)\) fallen sofort auf.

Häufige Fehler

• \(P_A(B)\) mit \(P_B(A)\) verwechseln: Der Nenner ist immer die Bedingung.
• Bei Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe nicht anpassen.
• Unabhängigkeit mit „sich ausschließen“ verwechseln: Disjunkte Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit sind abhängig.
• In der Vierfeldertafel Spalten- und Zeilensumme nicht kontrollieren.
• Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten nicht auf 1 prüfen.

Ottos Tipp

Otto der Hibou rät: Beginne jede Aufgabe mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel und beschrifte alle Äste. Schreibe die gesuchte Wahrscheinlichkeit zuerst als Formel hin, etwa \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\), und setze dann die Werte ein. Mit einer Gegenkontrolle über die Summe 1 erkennst du Fehler sofort.

Zusammenfassung

Mehrstufige Experimente rechnest du mit den Pfadregeln. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) misst die Wahrscheinlichkeit von \(B\), wenn \(A\) bekannt ist. Unabhängigkeit liegt vor, wenn \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) gilt. Vierfeldertafel und Baumdiagramm helfen, die Bedingung umzukehren. Diese Werkzeuge brauchst du bei Tests, Umfragen und Qualitätskontrolle.

Weiteres Beispiel: Qualitätskontrolle

Maschine A fertigt 60 % der Teile mit 2 % Ausschuss, Maschine B fertigt 40 % mit 5 % Ausschuss. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Teil Ausschuss ist, beträgt \(0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}012+0{,}02=0{,}032\). Wurde ein defektes Teil gefunden, stammt es mit \(\frac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375\), also zu 37,5 %, von Maschine A. Trotz des größeren Anteils an der Produktion hat A also den kleineren Anteil an den Defekten, weil ihre Fehlerquote niedriger ist.