Ganzrationale Funktionen – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Gib Grad, Leitkoeffizient und y-Achsenabschnitt an.

a) \(f(x)=3x^4-2x^2+7\)
b) \(g(x)=-5x^3+x\)
c) \(h(x)=\frac12x^5-x^3-4\)
d) \(k(x)=(x-2)(x+3)\) (erst ausmultiplizieren)

Beschreibe das Verhalten für \(x\to+\infty\) und \(x\to-\infty\).

a) \(f(x)=-2x^3+x\)
b) \(g(x)=x^4-5x^2\)
c) \(h(x)=-x^4+3x\)
d) \(k(x)=0{,}5x^5-x^2\)

Bestimme alle Nullstellen, indem du ausklammerst und faktorisierst.

a) \(f(x)=x^3-4x\)
b) \(g(x)=2x^4-8x^2\)
c) \(h(x)=x^3-5x^2+6x\)
d) \(k(x)=x^3+3x^2\)

Löse mit der Substitution \(z=x^2\) und gib alle reellen Nullstellen an.

a) \(x^4-5x^2+4=0\)
b) \(x^4-13x^2+36=0\)
c) \(x^4+x^2-2=0\)
d) \(x^4+4x^2+3=0\)

Eine Funktion dritten Grades hat die Nullstellen \(-1\), \(2\) und \(4\) und den Leitkoeffizienten \(1\).

a) Stelle die Linearfaktorform auf.
b) Multipliziere aus und gib die Normalform an.
c) Berechne den y-Achsenabschnitt.
d) Zeichne eine Skizze: Wie verläuft der Graph für \(x<-1\) und \(x>4\)?

Gegeben ist \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\).

a) Gib die Nullstellen mit Vielfachheit an.
b) Wie verläuft der Graph an den Nullstellen (schneiden oder berühren)?
c) Berechne den y-Achsenabschnitt.
d) Multipliziere aus und gib den Grad an.

Gegeben ist \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Es gilt \(f(1)=0\).

a) Führe die Polynomdivision \((x^3-6x^2+11x-6):(x-1)\) durch.
b) Löse die verbleibende quadratische Gleichung.
c) Gib die Linearfaktorzerlegung an.
d) Prüfe durch Einsetzen von \(x=3\).

Gegeben ist \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\). Eine Nullstelle ist \(x=3\).

a) Bestätige \(f(3)=0\).
b) Führe die Polynomdivision durch.
c) Bestimme die übrigen Nullstellen.
d) Lies die Nullstellen am Graphen ab und vergleiche.

Untersuche, welche Symmetrie vorliegt, ohne \(f(-x)\) auszurechnen.

a) \(f(x)=x^4-3x^2+1\)
b) \(g(x)=x^3-x\)
c) \(h(x)=x^3+x^2\)
d) \(k(x)=5\)

Der Graph einer Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\) geht durch \(A(0\,|\,3)\), \(B(1\,|\,0)\) und \(C(3\,|\,0)\).

a) Bestimme \(c\) aus \(A\).
b) Stelle die Gleichungen für \(B\) und \(C\) auf und löse.
c) Gib die Normal- und die Linearfaktorform an.
d) Berechne den Scheitel.

Eine Funktion dritten Grades hat die Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(2\), und der Punkt \(P(1\,|\,-3)\) liegt auf dem Graphen.

a) Stelle den Ansatz \(f(x)=a\,x(x-2)(x+2)\) auf.
b) Bestimme \(a\) mit \(f(1)=-3\).
c) Gib die Normalform an.
d) Welche Symmetrie hat der Graph?

Eine Brücke über einen Bach hat einen parabelförmigen Bogen. Die Spannweite beträgt \(20\) m, die Scheitelhöhe \(6\) m.

a) Lege das Koordinatensystem so, dass die Brücke an den Nullstellen \(0\) und \(20\) aufliegt, und stelle \(f\) auf.
b) Berechne die Höhe in \(5\) m Abstand vom linken Rand.
c) In welchem Bereich ist der Bogen mindestens \(5\) m hoch?
d) Ein Boot ist \(4{,}2\) m hoch. Wie breit ist der Streifen, in dem es unter dem Bogen hindurchfahren kann?

Aus einem rechteckigen Karton (\(20\) cm \(\times\) \(14\) cm) werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) herausgeschnitten, dann werden die Ränder zu einer Schachtel hochgefaltet.

a) Stelle das Volumen \(V(x)\) auf und gib die Nullstellen an.
b) Berechne \(V(2)\) und \(V(3)\).
c) Gib den sinnvollen Definitionsbereich an.
d) Ermittle mit \(V'(x)=0\) die günstigste Schnitttiefe.

Von \(f(x)=x^3-3x+1\) liegt die folgende Wertetabelle vor.

a) Prüfe die Tabelle durch Rechnung für \(x=-2\) und \(x=2\).
b) In welchen Intervallen liegen Nullstellen? Begründe mit dem Vorzeichenwechsel.
c) Wie viele Nullstellen hat \(f\) höchstens?
d) Grenze eine Nullstelle im Intervall \([1;2]\) durch Halbieren auf eine Dezimalstelle ein.

Von einer ganzrationalen Funktion kennt man die Werte.

a) Berechne die ersten Differenzen der Funktionswerte.
b) Berechne die zweiten und dritten Differenzen.
c) Welchen Grad hat die Funktion vermutlich? Begründe.
d) Bestimme \(f\) aus dem Ansatz \(f(x)=ax^3+1\).

Der Gewinn einer Schreinerei (in Tausend Euro) hängt von der Zahl \(x\) der produzierten Möbel (in Hundert) ab: \(G(x)=-x^3+9x^2-15x\), \(0\le x\le8\).

a) Bestimme die Nullstellen von \(G\).
b) In welchem Bereich arbeitet der Betrieb mit Gewinn?
c) Bestimme die Produktionsmenge mit maximalem Gewinn und die Höhe des Gewinns.
d) Was bedeutet das lokale Minimum bei \(x=1\)?

Zerlege \(f(x)=x^3-3x^2-4x+12\) vollständig.

a) Welche Zahlen kommen als ganzzahlige Nullstellen infrage (Teiler von \(12\))?
b) Finde eine Nullstelle durch Probieren.
c) Führe die Polynomdivision durch.
d) Gib alle Nullstellen und die Linearfaktorzerlegung an.

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat bei \(x=2\) eine Nullstelle, und der Graph geht durch \(P(1\,|\,-3)\).

a) Wähle den Ansatz aufgrund der Symmetrie.
b) Stelle zwei Gleichungen auf.
c) Löse das Gleichungssystem.
d) Bestimme alle Nullstellen.

Gib für jede Funktion die Anzahl der reellen Nullstellen an und begründe.

a) \(f(x)=x^4+1\)
b) \(g(x)=x^3\)
c) \(h(x)=x^5-x\)
d) \(k(x)=x^3-3x+2\)

Für \(x^2+px+q=0\) mit den Lösungen \(x_1,x_2\) gilt der Satz von Vieta: \(x_1+x_2=-p\) und \(x_1\cdot x_2=q\).

a) Bestimme die Nullstellen von \(x^2-7x+12\) durch Raten mit Vieta.
b) Zeige \(x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\) durch Ausmultiplizieren.
c) Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(-1\) und \(5\).