Änderungsrate und Ableitungsbegriff – Mathe Einführungsphase (Klasse 11) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([a;b]\) ist \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Berechne sie und gib an, ob \(f\) im Mittel steigt oder fällt.

a) \(f(x)=x^2\) in \([1;3]\)
b) \(f(x)=x^3\) in \([0;2]\)
c) \(f(x)=2x+5\) in \([1;4]\)
d) \(f(x)=\sqrt{x}\) in \([1;9]\)
e) \(f(x)=-x^2+4x\) in \([0;4]\)

Für \(f(x)=x^2\) soll die Steigung im Punkt \(P(2\,|\,4)\) untersucht werden. Berechne die Steigung der Sekante durch \(P\) und \(Q(2+h\,|\,f(2+h))\) für kleiner werdende \(h\).

a) Prüfe die Werte in der Tabelle durch Rechnung für \(h=1\) und \(h=0{,}1\).
b) Vereinfache den Differenzenquotienten allgemein.
c) Welchem Wert nähern sich die Sekantensteigungen? Was bedeutet das geometrisch?

Bestimme mit der h-Methode die Ableitung von \(f(x)=x^2\) an den Stellen.

a) \(x_0=1\)
b) \(x_0=-2\)
c) \(x_0=0\)
d) einer beliebigen Stelle \(x_0\)

Berechne die Ableitung mit der h-Methode. Notiere jeden Zwischenschritt.

a) \(f(x)=x^2+2x\) an der Stelle \(x_0=1\)
b) \(f(x)=3x^2-x\) an der Stelle \(x_0=2\)
c) \(f(x)=x^3\) an der Stelle \(x_0=1\)
d) \(f(x)=\frac1x\) an der Stelle \(x_0=2\)

Die Tabelle zeigt einige Werte von \(f(x)=\frac12x^2\).

a) Berechne die mittleren Änderungsraten in den Intervallen \([0;1]\), \([1;2]\), \([2;3]\), \([3;4]\).
b) Schätze \(f'(2)\) durch die Sekantensteigung über \([1;3]\).
c) Vergleiche mit dem exakten Wert aus der Regel \((x^2)'=2x\).
d) Warum steigen die Sekantensteigungen von Intervall zu Intervall?

Ein Linienbus fährt von der Haltestelle ab. Die Tabelle zeigt, wie weit er nach \(t\) Sekunden gekommen ist.

a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit in jedem Intervall (in m/s).
b) Rechne die Geschwindigkeit im letzten Intervall in km/h um.
c) In welchem Intervall ist der Bus am langsamsten, in welchem am schnellsten?
d) Schätze die Momentangeschwindigkeit nach \(4\) s durch das Intervall \([2;6]\).

Das Becken eines Freibads wird morgens um 6 Uhr gefüllt. Der Wasserstand beträgt nach \(t\) Stunden \(h(t)=0{,}2t^2\) Meter (\(0\le t\le 3\)).

a) Wie hoch steht das Wasser um 8 Uhr und um 9 Uhr?
b) Berechne die mittlere Füllgeschwindigkeit zwischen 6 Uhr und 9 Uhr.
c) Bestimme mit der h-Methode die momentane Füllgeschwindigkeit nach \(2\) Stunden.
d) Wann wäre der Wasserstand \(1\) m hoch, wenn das Modell weiter gälte?

Bei einem Patienten wird alle drei Stunden die Körpertemperatur gemessen.

a) Berechne die mittleren Änderungsraten pro Stunde in den vier Intervallen.
b) Wann stieg das Fieber am stärksten?
c) Wann fiel das Fieber am schnellsten?
d) In welchem Intervall liegt etwa der Höhepunkt der Kurve? Begründe mit dem Vorzeichen der Änderungsrate.

Ein Auto bremst auf der Landstraße. Für \(0\le t\le4\) beschreibt \(s(t)=20t-2{,}5t^2\) den Weg in Metern nach \(t\) Sekunden.

a) Berechne den Weg nach \(2\) s und nach \(4\) s.
b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit in \([0;4]\) und in \([0;2]\).
c) Bestimme mit der h-Methode die Momentangeschwindigkeit zur Zeit \(t_0=0\) und \(t_0=2\).
d) Wie lang ist der Bremsweg? Wie schnell war das Auto zu Beginn in km/h?

Eine Modellrakete steigt nach dem Start in den ersten \(10\) Sekunden gemäß \(h(t)=2t^2\) (in Metern) auf.

a) Welche Höhe hat sie nach \(10\) Sekunden?
b) Bestimme die mittlere Steiggeschwindigkeit in \([0;10]\) und in \([5;10]\).
c) Berechne die Momentangeschwindigkeit nach \(10\) Sekunden mit der h-Methode.
d) Vergleiche die drei Zahlen und erkläre, warum sie verschieden sind.

Die Stadtverwaltung erstellt eine Statistik zur Einwohnerzahl.

a) Berechne die mittlere Änderungsrate pro Jahr für die drei Zeiträume.
b) Beschreibe, wie sich das Wachstum entwickelt.
c) Welche Einwohnerzahl erwartest du 2030, wenn die Rate wie im letzten Zeitraum bleibt?
d) Warum ist die Rate nur ein Durchschnitt?

Das Akku-Ladestandsprotokoll eines Smartphones sieht so aus:

a) Berechne die mittlere Ladegeschwindigkeit in jeder Stunde (Prozentpunkte pro Stunde).
b) Beschreibe den Verlauf in Worten.
c) Schätze, wie viel Prozent das Handy nach fünf Stunden erreicht, wenn die Rate weiter um etwa \(10\) Prozentpunkte pro Stunde sinkt.
d) Warum lädt das Handy zum Schluss langsamer?

Ein Ball wird auf dem Sportplatz hochgeworfen. Seine Höhe in Metern nach \(t\) Sekunden ist \(h(t)=1+8t-5t^2\).

a) Wie hoch ist der Ball nach \(0{,}5\) s und nach \(1\) s?
b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit in \([0;1]\) und in \([0{,}5;1]\).
c) Bestimme mit der h-Methode die Momentangeschwindigkeit bei \(t_0=0{,}5\).
d) Wann ist die Momentangeschwindigkeit Null und wie hoch ist der Ball dann?

Ein Becher Kaffee kühlt in der Schulkantine ab. Gemessen wurde:

a) Berechne die mittleren Änderungsraten pro Minute.
b) Wie ändert sich die Abkühlungsgeschwindigkeit? Erkläre den Grund.
c) Schätze die Temperatur nach \(12\) Minuten.
d) Bei welcher Temperatur ist der Kaffee zum Trinken geeignet (etwa \(45\) °C)? Gib einen groben Zeitpunkt an.

Ein Reisebus fährt auf der Autobahn. Die zurückgelegte Strecke wird alle zehn Minuten notiert.

a) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in jedem Zehn-Minuten-Intervall in km/h.
b) In einem Baustellenabschnitt von Minute \(10\) bis Minute \(20\) gilt Tempo \(100\). Hat der Bus sich daran gehalten?
c) Wie schnell war der Bus im gesamten Zeitraum im Mittel?
d) Kann der Bus zwischendurch schneller als im Mittel gefahren sein? Erkläre.

Gegeben ist \(f(x)=x^2-4x\).

a) Berechne mit der h-Methode die Ableitung an einer beliebigen Stelle \(x_0\).
b) Wo ist die Tangente waagerecht?
c) Berechne \(f'(0)\), \(f'(1)\), \(f'(4)\) und deute die Vorzeichen.
d) Berechne die mittlere Änderungsrate in \([0;4]\) und vergleiche.

Gegeben ist \(f(x)=|x|\). Zeichne dazu den Graphen im Kopf: ein V mit der Spitze im Ursprung.

a) Berechne den Differenzenquotienten an der Stelle \(0\) für \(h=0{,}1\) und \(h=-0{,}1\).
b) Welche Werte erhältst du für \(h\to0^+\) und \(h\to0^-\)?
c) Was folgt für die Differenzierbarkeit an der Stelle \(0\)?
d) Ist \(f\) bei \(x_0=2\) differenzierbar? Berechne dort die Ableitung.

Die Abbildung zeigt die Parabel \(f(x)=x^2\), die Tangente im Punkt \(P(2\,|\,4)\) und die Sekante durch \(P\) und \(Q(3\,|\,9)\).

a) Berechne die Steigung der Sekante \(PQ\).
b) Berechne die Steigung der Tangente in \(P\).
c) Gib die Gleichung der Tangente an und prüfe die Abbildung.
d) Wie müsste man \(Q\) wählen, damit die Sekante noch näher an der Tangente liegt?

Die Funktion \(f\) ist abschnittsweise definiert: \(f(x)=x^2\) für \(x\le1\) und \(f(x)=2x-1\) für \(x>1\).

a) Zeige, dass \(f\) an der Stelle \(1\) stetig ist.
b) Berechne den linksseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h\to0^-\).
c) Berechne den rechtsseitigen Grenzwert für \(h\to0^+\).
d) Ist \(f\) bei \(x_0=1\) differenzierbar?

Die Höhe eines Radwegs über dem Meeresspiegel beträgt \(h(x)=\frac{1}{200}x^2\) Meter (\(x\) Entfernung vom Startpunkt in Metern, \(0\le x\le 100\)).

a) Berechne die mittlere Steigung zwischen \(x=0\) und \(x=100\) in Prozent.
b) Berechne mit der h-Methode die Steigung bei \(x_0=60\) und bei \(x_0=100\).
c) Wo ist die Steigung gleich der mittleren Steigung? Vergleiche mit der Mitte des Intervalls.
d) Ein Hinweisschild warnt ab \(8\,\%\) Steigung. Ab welcher Stelle gilt das?