Ganzrationale Funktionen – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimme für jede Funktion den Grad, den Leitkoeffizienten und das absolute Glied. Multipliziere dazu, wenn nötig, den Term aus.

a) Ergänze die Tabelle für \(f_1\) und \(f_2\).
b) Ergänze die Tabelle für \(f_3\) und \(f_4\).
c) Welche der Funktionen schneidet die y-Achse im Ursprung?

Beschreibe jeweils, wie sich der Graph für \(x\to+\infty\) und \(x\to-\infty\) verhält. Begründe mit Grad und Leitkoeffizient.

a) \(f(x)=x^3-4x\)
b) \(g(x)=-2x^4+x^2\)
c) \(h(x)=-x^3+5\)
d) \(k(x)=0{,}5x^6-x^5\)

Untersuche, ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keines von beiden ist. Setze dazu \(-x\) ein.

a) \(f(x)=x^4-3x^2+1\)
b) \(g(x)=x^3-x\)
c) \(h(x)=x^3+x^2\)
d) \(k(x)=x^5-2x^3+x\)

Gegeben ist \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

a) Berechne alle Funktionswerte der Tabelle.
b) Lies die Nullstellen aus der Tabelle ab und prüfe sie durch Einsetzen.
c) Zerlege \(f(x)\) in Linearfaktoren und überprüfe die Zerlegung durch Ausmultiplizieren.

Berechne die Nullstellen. Klammere zuerst die höchste gemeinsame Potenz von \(x\) aus und löse dann die verbleibende Gleichung.

a) \(x^3-4x=0\)
b) \(2x^4-8x^3=0\)
c) \(x^3+3x^2-10x=0\)
d) \(x^3-5x^2=0\)

Löse die biquadratischen Gleichungen mit der Substitution \(z=x^2\) (bzw. \(z=x^3\)). Vergiss das Zurücksetzen nicht.

a) \(x^4-5x^2+4=0\)
b) \(x^4-13x^2+36=0\)
c) \(x^4+x^2-6=0\)
d) \(x^6-9x^3+8=0\) (mit \(z=x^3\))

Eine Nullstelle ist gegeben. Teile durch den passenden Linearfaktor und bestimme die restlichen Nullstellen.

a) \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\), \(x_1=1\)
b) \(g(x)=x^3+2x^2-5x-6\), \(x_1=-1\)
c) \(h(x)=2x^3-3x^2-11x+6\), \(x_1=3\)

Bestimme die Gleichung der ganzrationalen Funktion mit den angegebenen Nullstellen, die durch den Punkt \(P\) geht. Ansatz: \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots\).

a) Nullstellen \(-2\), \(1\), \(4\); \(P(0|-8)\)
b) Nullstellen \(0\) (doppelt) und \(3\); \(P(1|-4)\)
c) Nullstellen \(-3\), \(-1\), \(1\), \(3\); \(P(0|9)\)

Bestimme alle Nullstellen mit Vielfachheit, den y-Achsenabschnitt und sage, an welchen Nullstellen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet.

a) \(f(x)=(x+1)^2(x-2)\)
b) \(g(x)=x(x-1)^3\)
c) \(h(x)=(x-2)^2(x+3)^2\)

Aus einem quadratischen Karton mit der Kantenlänge 24 cm werden an den vier Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) cm ausgeschnitten. Die überstehenden Seiten werden zu einer oben offenen Schachtel hochgefaltet.

a) Begründe, dass das Volumen \(V(x)=x(24-2x)^2\) ist.
b) Berechne die Volumina der Tabelle.
c) Welche ganzzahlige Höhe \(x\) liefert das größte Volumen? Wie viel Liter fasst die Schachtel?
d) Welche Werte kann \(x\) annehmen (Definitionsbereich)?

Ein Straßentunnel hat im Querschnitt die Form einer Parabel \(h(x)=-0{,}25x^2+4\) (\(x\) und \(h\) in Metern, \(x=0\) in der Tunnelmitte).

a) Wie hoch und wie breit ist der Tunnel?
b) Ein Lastwagen ist \(2{,}55\) m breit und \(3{,}5\) m hoch und fährt in der Mitte. Passt er hindurch? Begründe mit der Höhe am Rand des Lastwagens.
c) Ein Bus ist \(3{,}2\) m hoch und \(4\) m breit. Passt er?
d) Bei welchem Abstand von der Mitte ist die Tunnelhöhe nur noch 2 m?

Der Schulkiosk berechnet den Tagesgewinn in Abhängigkeit von der Anzahl \(x\) verkaufter Brötchen mit \(G(x)=-0{,}01x^2+1{,}2x-20\) (in Euro).

a) Wie hoch ist der Gewinn, wenn kein Brötchen verkauft wird? Was bedeutet das Ergebnis?
b) Bei welchen Verkaufszahlen macht der Kiosk weder Gewinn noch Verlust?
c) Berechne den Gewinn bei 60 Brötchen und vergleiche mit 50 und 70.
d) Wie viele Brötchen müssen mindestens verkauft werden, damit der Kiosk Gewinn macht?

Der erste Abschnitt einer Achterbahn wird durch das Höhenprofil \(f(x)=0{,}02x(x-10)(x-20)+10\) beschrieben (\(x\) waagerechte Strecke in m, \(f(x)\) Höhe in m, \(0\le x\le20\)).

a) Wie hoch liegen Start (\(x=0\)) und Ende (\(x=20\))?
b) Berechne die Höhe bei \(x=5\) und bei \(x=15\).
c) An welchen Stellen hat die Bahn wieder genau die Höhe 10 m?
d) Beschreibe den Verlauf der Bahn in Worten (Berg und Tal).

Die Kanten eines Quaders haben die Längen \(x\), \(x+1\) und \(x+2\) (in cm). Ein Modellbauer will einen Quader mit einem Volumen von genau 60 cm³ herstellen.

a) Stelle die Funktion \(V(x)\) auf und multipliziere aus.
b) Berechne \(V(2)\), \(V(3)\) und \(V(4)\).
c) Zeige durch Polynomdivision, dass \(x=3\) die einzige Lösung von \(V(x)=60\) ist.
d) Berechne für diese Lösung die Oberfläche des Quaders.

Das Wasser eines Springbrunnens beschreibt eine Parabel. Gemessen wurden drei Punkte der Wasserlinie: Der Strahl beginnt im Ursprung, hat bei \(x=2\) m die Höhe 3 m und bei \(x=4\) m die Höhe 4 m.

a) Bestimme \(f(x)=ax^2+bx\) aus den drei Punkten.
b) Wo erreicht das Wasser seine größte Höhe, wie groß ist sie?
c) In welcher Entfernung trifft der Strahl wieder auf das Wasser?
d) Wie hoch ist der Strahl 1 m vom Rand des Beckens entfernt (\(x=7\))?

Das Höhenprofil eines Wanderwegs wird für \(0\le x\le4\) (\(x\) in km, Höhe \(h\) in 100 m über dem Tal) durch \(h(x)=x^3-6x^2+9x+1\) beschrieben.

a) Berechne die fünf Höhenwerte.
b) Zeige, dass \(h(x)=1\) für \(x=0\) und \(x=3\) gilt, und beschreibe das Verhalten bei \(x=3\).
c) Auf welcher Höhe liegt der höchste Punkt? Warum berührt der Weg dort die Höhe 5 und schneidet sie nicht?
d) Wann liegt der Weg wieder bei 5 (500 m)?

Der abgebildete Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Er schneidet die x-Achse bei \(-2\), \(1\) und \(3\) und die y-Achse bei \((0|3)\).

a) Stelle mit dem Ansatz für die Nullstellen die Funktionsgleichung auf und bestimme \(a\).
b) Berechne \(f(2)\) und vergleiche mit der Tabelle.
c) Beschreibe das Verhalten für \(x\to\pm\infty\).
d) Zwischen welchen Nullstellen ist \(f(x)>0\)? Gib die Bereiche an.

Gegeben sind die Funktionen \(f_a(x)=x^3-ax\) mit einem Parameter \(a\). Untersuche, wie sich die Nullstellen mit \(a\) verändern.

a) Bestimme die Nullstellen für alle Werte der Tabelle.
b) Für welche \(a\) hat \(f_a\) genau eine, für welche drei Nullstellen?
c) Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
d) Für welches \(a\) liegt eine Nullstelle bei \(x=5\)?

Jedes Jahr zu Jahresbeginn werden 1000 € auf ein Konto eingezahlt, drei Jahre lang. Der Zinsfaktor pro Jahr ist \(q\). Das Kapital am Ende des dritten Jahres ist \(K(q)=1000\,(q+q^2+q^3)\).

a) Erkläre, warum die erste Einzahlung mit \(q^3\), die zweite mit \(q^2\) und die dritte mit \(q\) multipliziert wird.
b) Berechne die Werte der Tabelle.
c) Eine Familie möchte nach 3 Jahren 3200 € haben. Zwischen welchen Zinsfaktoren aus der Tabelle liegt \(q\)? Bestimme \(q\) auf drei Nachkommastellen.
d) Welchem Zinssatz entspricht das?

Untersuche \(f(x)=x^4-5x^2+4\) vollständig und zeichne eine Skizze.

a) Symmetrie, y-Achsenabschnitt und Verhalten im Unendlichen.
b) Nullstellen mit Substitution und Zerlegung in Linearfaktoren.
c) Berechne die Schnittpunkte mit der Geraden \(y=4\).
d) Wie viele Nullstellen kann eine Funktion vierten Grades haben? Nenne für jede Anzahl von 0 bis 4 ein Beispiel.