Límites, continuidad y derivadas: repaso – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Calcula los siguientes límites, indicando el tipo de indeterminación.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-x}{2x^3+5}\) (0,5 puntos)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-4x+3}{x^2-1}\) (1 punto)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)\) (1,25 puntos)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{2x}\) (1,25 puntos)

Se considera \(f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x-3}\).

1. Halla las asíntotas verticales y estudia los límites laterales. (1,5 puntos)
2. Halla la asíntota oblicua. (1,5 puntos)
3. Estudia la posición de la gráfica respecto de la asíntota oblicua. (1 punto)

Se considera \(f(x)=\begin{cases}x^2+a & \text{si } x<0\\ bx+2 & \text{si } 0\le x\le2\\ \dfrac{8}{x} & \text{si } x>2\end{cases}\).

1. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en \(\mathbb R\). (2,5 puntos)
2. Con esos valores, calcula \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(4)\). (0,75 puntos)
3. ¿Tiene \(f\) asíntota horizontal? (0,75 puntos)

Se considera la ecuación \(x^3-3x+1=0\).

1. Enuncia el teorema de Bolzano. (1 punto)
2. Demuestra que la ecuación tiene al menos tres soluciones reales y sitúalas en intervalos de longitud 1. (2 puntos)
3. ¿Puede tener más de tres? Razona. (1 punto)

En una academia de Valladolid, el número de palabras por minuto que escribe un alumno después de \(t\) semanas de curso es \(P(t)=\dfrac{50(t+2)}{t+10}\).

1. ¿Cuántas palabras por minuto escribe al empezar? ¿Y después de 6 semanas? (1 punto)
2. ¿Cuántas semanas necesita para llegar a 30 palabras por minuto? (1 punto)
3. Calcula \(\lim_{t\to+\infty}P(t)\) e interprétalo. (1 punto)
4. Un anuncio de la academia promete «60 palabras por minuto». ¿Es posible según el modelo? (1 punto)