Distancias, ángulos y áreas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Se consideran el punto \(P(2,1,-1)\), el plano \(\pi:\ x+2y-2z+4=0\) y la recta \(r:\ (x,y,z)=(0,1,2)+t(1,-1,1)\).

1. Calcula la distancia de \(P\) a \(\pi\). (1 punto)
2. Calcula la distancia de \(P\) a \(r\). (2 puntos)
3. Halla los puntos de \(r\) que están a distancia 3 de \(\pi\). (1 punto)

Se consideran la recta \(r:\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-1}\) y los planos \(\pi_1:\ x-y+z=0\) y \(\pi_2:\ 2x+y+z=5\).

1. Calcula el ángulo entre \(r\) y \(\pi_1\). (1,5 puntos)
2. Calcula el ángulo entre \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1,5 puntos)
3. Halla el valor de \(m\) para que la recta de vector \((1,m,2)\) sea paralela a \(\pi_2\). (1 punto)

Se consideran el punto \(P(1,3,2)\) y el plano \(\pi:\ x-y+2z=6\).

1. Halla la proyección ortogonal \(H\) de \(P\) sobre \(\pi\). (2 puntos)
2. Halla el simétrico \(P^{\prime}\) de \(P\) respecto de \(\pi\). (1 punto)
3. Calcula la distancia de \(P\) a \(\pi\) de dos maneras. (1 punto)

Se consideran \(r:\ (x,y,z)=(0,0,1)+t(1,1,0)\) y \(s:\ (x,y,z)=(1,0,3)+\lambda(0,1,-1)\).

1. Comprueba que se cruzan. (1,5 puntos)
2. Calcula la distancia entre ellas. (1,5 puntos)
3. Calcula el ángulo que forman. (1 punto)

Una tienda de campaña de alta montaña tiene forma de tetraedro. Su suelo es el triángulo \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(C(0,8,0)\) (decímetros) y el vértice superior es \(D(2,2,5)\).

1. Calcula el volumen interior en litros (1 dm³ = 1 L). (1 punto)
2. Calcula el área de la cara \(BCD\). (1,5 puntos)
3. Calcula la distancia del vértice \(A\) a la cara \(BCD\). (1,5 puntos)