Derivabilidad – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Se considera \(f(x)=\begin{cases}x^2+ax & \text{si } x\le2\\ bx+c & \text{si } x>2\end{cases}\).

1. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea derivable en \(\mathbb R\) y su gráfica pase por \((1,0)\). (3 puntos)
2. Escribe \(f^{\prime}(x)\) con esos valores. (1 punto)

Se considera \(f(x)=xe^x\).

1. Halla la recta tangente y la recta normal en \(x=0\). (2 puntos)
2. Halla el punto en que la tangente es horizontal. (1 punto)
3. Calcula el ángulo que forma con el eje \(X\) la tangente en \(x=0\). (1 punto)

Calcula los límites siguientes.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) (1,5 puntos)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}\) (1,5 puntos)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\) (1 punto)

Responde a las dos cuestiones.

1. Comprueba que \(f(x)=x^3-3x\) cumple el teorema de Rolle en \([0,\sqrt3]\) y halla el punto \(c\). (2 puntos)
2. Aplica el teorema del valor medio a \(g(x)=\sqrt x\) en \([1,4]\) y halla el punto \(c\). (2 puntos)

En la feria de la ciencia de un instituto de Valencia se lanza un cohete de agua desde una terraza. Su altura en metros a los \(t\) segundos es \(h(t)=-5t^2+20t+25\).

1. ¿Desde qué altura se lanza? ¿Cuál es la velocidad inicial? (1 punto)
2. ¿En qué instante alcanza la altura máxima y cuánto vale? (1 punto)
3. ¿Cuándo llega al suelo y a qué velocidad? (1,5 puntos)
4. Calcula la velocidad media durante todo el vuelo. (0,5 puntos)