Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: examen para descargar en PDF

Calcula los límites siguientes justificando cada paso.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to-3}\dfrac{x^2+x-6}{x+3}\) (1,5 puntos)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-1}{2x^2+x}\) (1 punto)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\dfrac{3}{x-1}\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{3}{x-1}\) (1,5 puntos)

Sea \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\).

1. Calcula el dominio, la asíntota vertical y los límites laterales. (2 puntos)
2. Calcula la asíntota horizontal. (1 punto)
3. Calcula los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

Estudia la continuidad de las funciones siguientes.

1. \(f(x)=\begin{cases}x^2-k & \text{si } x\lt 3\\ 2x+1 & \text{si } x\ge3\end{cases}\). Halla \(k\) para que \(f\) sea continua. (2 puntos)
2. \(g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\). Clasifica la discontinuidad en \(x=2\) e indica cómo evitarla. (2 puntos)

Una imprenta de Logroño cobra 2 000 € fijos por la edición de un libro de fiestas y 5 € por ejemplar. El coste medio por ejemplar es \(CM(x)=\dfrac{2\,000+5x}{x}\).

1. Calcula el coste medio de 100 ejemplares. (1 punto)
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}CM(x)\) e interprétalo. (1 punto)
3. ¿Cuántos ejemplares hay que imprimir para que el coste medio sea 6 €? (1 punto)

En una finca de Ciudad Real se estudia una población de conejos. Se estima que, \(t\) años después del inicio del estudio, habrá \(P(t)=\dfrac{1\,200t+400}{t+2}\) conejos. Los agricultores vecinos temen que la población supere los 1 300 ejemplares.

1. ¿Cuántos conejos había al principio? Calcula \(P(3)\) y \(P(8)\). (1 punto)
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)\) e interpreta el resultado. (1 punto)
3. ¿Cuándo habrá 1 100 conejos? (1 punto)
4. Comprueba que \(P(t)=1\,200-\dfrac{2\,000}{t+2}\). (1 punto)
5. ¿Tienen razón los agricultores al temer que se superen los 1 300 conejos? Justifícalo. (1 punto)