Límites, continuidad y derivadas: repaso – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

Para calcular el límite en el infinito de un cociente de polinomios se comparan los grados: se divide numerador y denominador entre la mayor potencia de \(x\) del denominador.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+2}{5x^2+4}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2-3}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-2}{4x^2+x}\)
4. Explica la regla general según los grados del numerador y del denominador.

Si al sustituir aparece \(\tfrac00\), el numerador y el denominador tienen un factor común \((x-a)\): se factorizan (con Ruffini si hace falta) y se simplifica.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}\)

Cuando aparecen raíces en una indeterminación \(\infty-\infty\) o \(\tfrac00\), se multiplica y se divide por el conjugado, porque \((\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=A-B^2\).

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\right)\)

Si \(f(x)\to1\) y \(g(x)\to\infty\), se usa \(\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\,(f(x)-1)}\), que generaliza \(\lim\left(1+\tfrac1x\right)^x=e\).

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^{x+1}\)

Se considera \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\). Las asíntotas verticales están donde el denominador se anula y el numerador no; la oblicua \(y=mx+n\) tiene \(m=\lim\frac{f(x)}x\) y \(n=\lim(f(x)-mx)\).

1. Halla el dominio y la asíntota vertical. Calcula los límites laterales.
2. ¿Tiene asíntota horizontal?
3. Halla la asíntota oblicua.
4. Estudia la posición de la gráfica respecto de la asíntota oblicua.

Una función es continua en \(x=c\) si existen \(f(c)\) y \(\lim_{x\to c}f(x)\) y son iguales. Se considera \(f(x)=\begin{cases}ax+1 & \text{si } x<2\\ x^2-a & \text{si } x\ge2\end{cases}\).

1. Calcula los límites laterales en \(x=2\) y \(f(2)\).
2. Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(\mathbb R\).
3. Para \(a=0\), ¿qué tipo de discontinuidad tiene en \(x=2\)? ¿Cuánto mide el salto?

Una discontinuidad es evitable si existe el límite (finito) pero no coincide con \(f(c)\) o \(f(c)\) no existe; es de salto si los límites laterales son distintos, y de salto infinito (asintótica) si alguno es infinito. Se considera \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-x}\).

1. Halla los puntos donde \(f\) no está definida.
2. Estudia el tipo de discontinuidad en \(x=1\) y redefine \(f\) para que sea continua allí.
3. Estudia el tipo de discontinuidad en \(x=0\).
4. Halla la asíntota horizontal.

En un embalse de Extremadura se sueltan alevines de trucha. Un modelo da el número de peces (en cientos) al cabo de \(t\) años: \(P(t)=\dfrac{800t+600}{t+3}\), con \(t\ge0\).

1. ¿Cuántos peces se soltaron al principio?
2. ¿Cuántos habrá al cabo de 2 años?
3. ¿Cuándo habrá 60 000 peces?
4. Calcula \(\lim_{t\to+\infty}P(t)\) e interprétalo.

Un taller de serigrafía de Elche tiene unos gastos fijos de 2 000 € al mes y cada camiseta estampada le cuesta 15 €. El coste medio por camiseta cuando fabrica \(x\) camisetas es \(C_m(x)=\dfrac{2\,000+15x}{x}\).

1. Calcula el coste medio para 100, 500 y 2 000 camisetas.
2. Calcula \(\lim_{x\to+\infty}C_m(x)\) e interprétalo.
3. Si vende cada camiseta a 20 €, ¿cuántas tiene que fabricar como mínimo para no perder dinero?
4. ¿Qué ocurre con \(C_m(x)\) cuando \(x\to0^+\)? ¿Tiene sentido?

Un aparcamiento del centro de Granada cobra 2 € por la primera hora o fracción y 1,50 € por cada hora o fracción siguiente, hasta un máximo de 12 € al día. Sea \(P(t)\) el precio en euros por \(t\) horas, con \(0\lt t\le24\).

1. Calcula \(P(0{,}5)\), \(P(1)\), \(P(1{,}2)\) y \(P(3)\).
2. Calcula \(\lim_{t\to1^-}P(t)\) y \(\lim_{t\to1^+}P(t)\). ¿Es continua en \(t=1\)?
3. ¿En qué puntos de \((0,24]\) es discontinua \(P\)? ¿De qué tipo?
4. ¿A partir de cuántas horas se paga el máximo?

Un café recién servido en una cafetería de Santander está a 90 °C. Su temperatura al cabo de \(t\) minutos es \(T(t)=20+70e^{-0{,}1t}\).

1. Comprueba la temperatura inicial y calcula la temperatura a los 10 minutos.
2. Calcula \(\lim_{t\to+\infty}T(t)\) e interpreta el resultado.
3. Justifica con el teorema de Bolzano que en algún momento entre 0 y 20 minutos el café está a 50 °C.
4. Calcula exactamente ese momento.

En una tienda de regalos se fabrican cajas sin tapa recortando cuadrados de lado \(x\) dm en las esquinas de una lámina de 10 dm de lado. El volumen es \(V(x)=x(10-2x)^2\) dm³. Se busca un valor de \(x\) entre 0 y 1 con volumen 60 dm³.

1. Justifica con el teorema de Bolzano que existe tal valor en \((0,1)\).
2. Aplica dos pasos del método de bisección para acotarlo.
3. Da el valor con una cifra decimal.

Lucía deja 1 000 € en una cuenta al 3 % anual durante 10 años. Si los intereses se acumulan \(n\) veces al año, el capital final es \(C=1\,000\left(1+\tfrac{0{,}03}{n}\right)^{10n}\).

1. Calcula el capital si los intereses se acumulan una vez al año.
2. Calcula el capital si se acumulan cada mes (\(n=12\)).
3. Calcula \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}1\,000\left(1+\tfrac{0{,}03}{n}\right)^{10n}\) (interés continuo).
4. ¿Merece la pena pedir al banco el interés continuo? Razona.

En un partido de baloncesto en Badalona, un balón se lanza hacia arriba y su altura en metros a los \(t\) segundos es \(h(t)=20t-4{,}9t^2\) (sin contar la altura inicial). La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media.

1. Calcula la velocidad media entre \(t=1\) y \(t=1+k\).
2. Calcula la velocidad instantánea en \(t=1\) como límite cuando \(k\to0\).
3. Comprueba el resultado derivando \(h\).
4. ¿En qué instante la velocidad es 0? ¿Qué altura alcanza?

En un ensayo de un hospital de Pamplona se estudia la concentración de un medicamento en la sangre, en mg/L, a las \(t\) horas de tomarlo: \(C(t)=\dfrac{10t}{t^2+4}\). El efecto terapéutico necesita al menos 2 mg/L. Algunos valores aparecen en la tabla.

1. Completa la tabla.
2. Calcula \(\lim_{t\to+\infty}C(t)\) e interprétalo.
3. Justifica que \(C\) es continua en \([0,+\infty)\).
4. Halla entre qué horas el medicamento hace efecto (\(C\ge2\)).
5. La concentración máxima se alcanza en \(t=2\) h. Calcúlala. ¿Por qué el médico recetaría una segunda dosis?

Una compañía de agua de un municipio de Alicante factura el consumo mensual \(x\) (en m³) con la función \(F(x)=\begin{cases}a+0{,}5x & \text{si } 0\le x\le10\\ 8+bx & \text{si } 10\lt x\le30\\ 2x-c & \text{si } x>30\end{cases}\) (euros). La ley exige que la factura no dé saltos al cambiar de tramo. Se sabe que con un consumo nulo se paga una cuota fija de 4 €.

1. Halla \(a\).
2. Halla \(b\) para que \(F\) sea continua en \(x=10\).
3. Halla \(c\) para que \(F\) sea continua en \(x=30\).
4. Calcula la factura de una familia que consume 12 m³ y la de otra que consume 40 m³.
5. Explica qué significa que cada tramo tenga una pendiente mayor que el anterior.

Una estación meteorológica de Toledo modeliza la temperatura (°C) entre las 0 h y las 24 h con \(T(h)=-\tfrac18h^2+3h+2\). Las mediciones reales a algunas horas aparecen en la tabla. Se quiere saber si a lo largo del día se alcanzaron los 19 °C y cuál fue la máxima.

1. Comprueba que el modelo reproduce los datos de la tabla.
2. Justifica con el teorema de Bolzano que entre las 8 h y las 10 h la temperatura fue de 19 °C.
3. Halla exactamente esa hora.
4. Enuncia el teorema de Weierstrass y justifica que hubo una temperatura máxima en \([0,24]\).
5. Calcula la máxima y la hora en que se alcanzó.
6. ¿Es razonable el modelo a las 24 h? Explica sus límites.

Se considera la función \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x+1}\). En la PAU se pide a menudo hallar todas las asíntotas y la posición relativa de la gráfica.

1. Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes.
2. Halla la asíntota vertical y los límites laterales.
3. Halla la asíntota oblicua.
4. Estudia la posición relativa de la gráfica y la asíntota oblicua.
5. Con una tabla de valores para \(x=10\), \(100\) y \(1\,000\), comprueba que \(f(x)-(2x-5)\) se acerca a 0.

Una tienda en línea de Bilbao compara dos campañas. El número de visitas (en miles) a los \(t\) meses es \(V_1(t)=e^t\) en la primera y \(V_2(t)=3-t\) en la segunda. Se quiere saber cuándo tienen las mismas visitas.

1. Plantea la ecuación y explica por qué no se puede resolver con álgebra elemental.
2. Demuestra con el teorema de Bolzano que hay una solución en \((0,1)\).
3. Demuestra que es la única (piensa en la monotonía de \(e^t+t\)).
4. Acótala con el método de bisección hasta una décima.

Para ir más allá. Halla en cada caso el valor del parámetro.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+ax}-x\right)=3\).
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^2\).
3. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2+bx-6}{x-2}\) es finito. Halla \(b\) y el límite.