Límites, continuidad y derivadas: repaso – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\tfrac\infty\infty\) con grados iguales: \(\tfrac42=2\). Se dividen numerador y denominador entre \(x^3\) y queda el cociente de los coeficientes principales. (0,5 puntos)
   2. \(\tfrac00\): \(\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-3}{x+1}\to\dfrac{-2}{2}=-1\). Ambos polinomios se anulan en \(x=1\), así que se factorizan y se simplifica el factor \(x-1\). (1 punto)
   3. \(\infty-\infty\): con el conjugado, \(\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}\to\dfrac22=1\). Se multiplica y divide por el conjugado \(\sqrt{x^2+2x}+x\); el numerador queda \(x^2+2x-x^2=2x\). Dividiendo entre \(x\), \(\frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1}\to1\). (1,25 puntos)
   4. \(1^\infty\): \(\dfrac{x+2}{x+1}-1=\dfrac1{x+1}\) y \(2x\cdot\dfrac{1}{x+1}\to2\). El límite es \(e^2\). Se usa \(\lim f^g=e^{\lim g(f-1)}\) cuando \(f\to1\) y \(g\to\infty\). (1,25 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. En \(x=3\) el numerador vale 3: \(\lim_{x\to3^-}f=\tfrac{3}{0^-}=-\infty\) y \(\lim_{x\to3^+}f=+\infty\). Asíntota vertical \(x=3\). El dominio es \(\mathbb R\setminus\{3\}\). Cerca de 3 el numerador es positivo y el denominador cambia de signo. (1,5 puntos)
   2. \(m=\lim\dfrac{x^2-2x}{x^2-3x}=1\); \(n=\lim\left(\dfrac{x^2-2x}{x-3}-x\right)=\lim\dfrac{x}{x-3}=1\). Asíntota \(y=x+1\). Una oblicua \(y=mx+n\) tiene \(m=\lim\frac{f(x)}x\) y \(n=\lim(f(x)-mx)\). También se obtiene dividiendo: \(x^2-2x=(x-3)(x+1)+3\). No hay horizontal, porque el grado del numerador es mayor. (1,5 puntos)
   3. \(f(x)-(x+1)=\dfrac{3}{x-3}\): por encima cuando \(x\to+\infty\) y por debajo cuando \(x\to-\infty\). Si \(x\gt3\), \(\frac{3}{x-3}\gt0\); si \(x\lt3\), es negativo. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. En \(x=0\): \(\lim_{x\to0^-}f=a\) y \(f(0)=2\), luego \(a=2\). En \(x=2\): \(f(2)=2b+2\) y \(\lim_{x\to2^+}f=4\), luego \(2b+2=4\), \(b=1\). En el resto los trozos son continuos (el último no se anula en \(x\gt 2\)). (2,5 puntos)
   2. \(f(-1)=1+2=3\), \(f(1)=1+2=3\) y \(f(4)=\tfrac84=2\). Cada valor usa su tramo: \(-1\lt0\), \(0\le1\le2\) y \(4\gt2\). (0,75 puntos)
   3. Por la derecha, \(\lim_{x\to+\infty}\tfrac8x=0\): asíntota \(y=0\). Por la izquierda \(x^2+2\to+\infty\), no hay. Por tanto, \(y=0\) es asíntota horizontal solo por la derecha. (0,75 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos distintos, existe \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\). (1 punto)
   2. \(g(x)=x^3-3x+1\) es continua. \(g(-2)=-1\), \(g(-1)=3\), \(g(0)=1\), \(g(1)=-1\), \(g(2)=3\). Hay cambios de signo en \((-2,-1)\), \((0,1)\) y \((1,2)\): al menos tres raíces. Las imágenes se calculan sustituyendo; por ejemplo, \(g(-2)=-8+6+1=-1\). (2 puntos)
   3. No: un polinomio de grado 3 tiene como mucho tres raíces reales. En consecuencia, la ecuación tiene exactamente tres soluciones reales. (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(P(0)=\tfrac{100}{10}=10\) palabras por minuto y \(P(6)=\tfrac{50\cdot8}{16}=25\) palabras por minuto. En 6 semanas ha mejorado 15 palabras por minuto. (1 punto)
   2. \(\dfrac{50(t+2)}{t+10}=30\): \(50t+100=30t+300\), \(20t=200\), \(t=10\) semanas. Se puede multiplicar en cruz porque \(t+10\gt0\). (1 punto)
   3. Grados iguales: el límite es \(\tfrac{50}{1}=50\). Por mucho que practique, el alumno se acerca a 50 palabras por minuto (asíntota horizontal). El límite se calcula como cociente de coeficientes principales: \(\frac{50t}{t}\to50\). (1 punto)
   4. No: \(P(t)\lt 50\) para todo \(t\), porque \(50(t+2)\lt 50(t+10)\). Nunca llegaría a 60. La diferencia \(50-P(t)=\frac{400}{t+10}\) es siempre positiva, aunque cada vez menor. (1 punto)

Total : 20 puntos