Ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Por el teorema del resto, el resto de dividir entre \(x-1\) es \(P(1)=1+2-5-6=-8\). Como no es cero, \(x=1\) no es raíz. Comprobación con otra raíz: \(P(2)=8+8-10-6=0\).
   2. Buscamos raíces entre los divisores de \(-6\): \(P(-1)=-1+2+5-6=0\). Ruffini con \(-1\) da el cociente \(x^2+x-6\), cuyas raíces son 2 y \(-3\). Por tanto, \(P(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\).
   3. Factorizamos también el denominador, \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), y simplificamos el factor común: \(\dfrac{(x+1)(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{(x+1)(x+3)}{x+2}\), para \(x\ne2\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Es bicuadrada. Con el cambio \(t=x^2\): \(t^2-10t+9=0\), con \(t=1\) o \(t=9\). Deshaciendo el cambio, \(x^2=1\) da \(x=\pm1\) y \(x^2=9\) da \(x=\pm3\). Las cuatro soluciones son \(\pm1\) y \(\pm3\).
   2. Elevamos al cuadrado los dos miembros: \(x+7=x^2-10x+25\), es decir, \(x^2-11x+18=0\), con \(x=9\) o \(x=2\). Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, así que comprobamos: \(\sqrt{16}=4=9-5\) sí; \(\sqrt9=3\ne2-5\) no. La única solución es \(x=9\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Despejamos \(x\) en la primera ecuación, \(x=y+2\), y sustituimos en la segunda: \((y+2)y=15\), es decir, \(y^2+2y-15=0\). También se puede despejar \(y=x-2\); el resultado es el mismo.
   2. Las soluciones son \(y=3\) e \(y=-5\). Si \(y=3\), \(x=5\); si \(y=-5\), \(x=-3\). Soluciones: \((5,3)\) y \((-3,-5)\). Comprobación: \(5-3=2\) y \(5\cdot3=15\); \(-3-(-5)=2\) y \((-3)(-5)=15\). La ecuación \(y^2+2y-15=0\) tiene discriminante \(4+60=64\), así que \(y=\frac{-2\pm8}{2}\). Hay dos soluciones porque la recta \(x-y=2\) corta a la hipérbola \(xy=15\) en dos puntos.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Las raíces de \(x^2-x-12\) son \(x=-3\) y \(x=4\). La parábola se abre hacia arriba, así que es negativa o nula entre las raíces, incluidas: \([-3,4]\).
   2. Los valores críticos son \(-2\) (anula el numerador) y \(1\) (anula el denominador). Estudiando el signo en cada intervalo, la fracción es positiva en \((-\infty,-2)\) y en \((1,+\infty)\), y vale 0 en \(x=-2\). Solución: \((-\infty,-2]\cup(1,+\infty)\); el 1 se excluye porque anula el denominador.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(x(x+4)=96\Rightarrow x^2+4x-96=0\Rightarrow x=8\) o \(x=-12\). Ancho 8 m y largo 12 m. La raíz negativa se descarta porque un ancho no puede ser negativo. Comprobación: \(8\cdot12=96\).
   2. \(x^2+4x-60\ge0\), raíces \(6\) y \(-10\): \(x\le-10\) o \(x\ge6\). Con \(x\gt 0\): \(x\ge6\). Discriminante: \(16+240=256\), así que \(x=\frac{-4\pm16}{2}\). Comprobación: \(6\cdot10=60\).
   3. \(6\le x\le8\). El mayor es el de \(8\times12\) m, con 96 m². El ancho mínimo, 6 m, da un huerto de \(6\times10\) m con 60 m²; el máximo, 8 m, agota la tierra disponible.

Total : 20 puntos