Polinomios, ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(P(2)=8-16+2+6=0\): por el teorema del resto, \(x-2\) es un factor de \(P(x)\) y \(2\) es una raíz. El teorema del resto dice que \(P(a)\) es el resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-a\).
   2. Coeficientes \(1,\,-4,\,1,\,6\) con \(a=2\): \(1\); \(-4+2=-2\); \(1-4=-3\); \(6-6=0\). Cociente \(x^2-2x-3\) y resto 0. Es decir, \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\).
   3. \(x^2-2x-3=0\) da \(x=3\) y \(x=-1\). \(P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)\); raíces \(2\), \(3\) y \(-1\). Las raíces de \(x^2-2x-3\) salen de \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}\). Comprobación: \(P(3)=27-36+3+6=0\) y \(P(-1)=-1-4-1+6=0\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Con \(t=x^2\): \(t^2-10t+9=0\), \(t=1\) y \(t=9\). Soluciones: \(x=\pm1\) y \(x=\pm3\). Es una ecuación bicuadrada. Las raíces de \(t^2-10t+9=0\) salen de \(t=\dfrac{10\pm8}{2}\); ambas son positivas, así que cada una da dos valores de \(x\). Comprobación: \(81-90+9=0\) y \(1-10+9=0\).
   2. Al cuadrado: \(2x+3=x^2\), \(x^2-2x-3=0\), \(x=3\) o \(x=-1\). Comprobación: \(\sqrt9=3\) ✓; \(\sqrt1=1\neq-1\) ✗. Solución: \(x=3\). Elevar al cuadrado puede introducir soluciones falsas, por eso hay que comprobar en la ecuación original. Además, una raíz cuadrada nunca es negativa, lo que descarta \(x=-1\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Raíces: \(x=\dfrac{1\pm7}{2}\), \(4\) y \(-3\). La parábola se abre hacia arriba: es negativa o nula entre las raíces. Solución: \([-3,4]\). Factorizada, \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\). Los extremos se incluyen porque la desigualdad admite el 0.
   2. Puntos críticos \(-2\) (numerador) y \(5\) (denominador). Signos: \((-\infty,-2)\): \(+\); \((-2,5)\): \(-\); \((5,+\infty)\): \(+\). Solución: \((-2,5)\). Los extremos se excluyen: en \(-2\) el cociente vale 0, que no es negativo, y en \(5\) se anula el denominador. Comprobación con \(x=0\): \(\dfrac{2}{-5}\lt 0\) ✓.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{1\,200}{x}-\dfrac{1\,200}{x+5}=8\). Si son \(x\) amigos, cada uno paga \(\dfrac{1\,200}{x}\); si fueran \(x+5\), pagarían \(\dfrac{1\,200}{x+5}\), y la diferencia entre ambas cantidades es de 8 €.
   2. \(6\,000=8x(x+5)\), \(x^2+5x-750=0\), \(x=\dfrac{-5\pm55}{2}\): \(x=25\) amigos. Cada uno paga \(1\,200:25=48\) € (con 30 pagarían 40 €, 8 € menos ✓). Multiplicando por \(x(x+5)\): \(1\,200(x+5)-1\,200x=8x(x+5)\), que se reduce a \(8x^2+40x-6\,000=0\) y, dividiendo entre 8, a \(x^2+5x-750=0\). El discriminante es \(25+3\,000=3\,025=55^2\). La otra solución, \(x=-30\), se descarta por ser negativa.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(B(5)=-25+300-500=-225\) € (pérdidas). \(B(20)=-400+1\,200-500=300\) €.
   2. \(x^2-60x+500\lt 0\), raíces \(10\) y \(50\). Hay beneficio si venden entre 11 y 49 quesos. Comprobación: \(B(10)=-100+600-500=0\) y \(B(50)=-2\,500+3\,000-500=0\).
   3. Vértice \(x=30\): \(B(30)=-900+1\,800-500=400\) €. El vértice está en \(x=-\dfrac{60}{2\cdot(-1)}=30\) y es un máximo porque el coeficiente de \(x^2\) es negativo.
   4. \(-x^2+60x-500\ge300\) equivale a \(x^2-60x+800\le0\), con raíces 20 y 40: entre 20 y 40 quesos. No compensa vender más de 40 quesos. Comprobación: \(B(40)=-1\,600+2\,400-500=300\).

Total : 20 puntos