Estos apuntes de funciones elementales de 1º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Dominio, transformaciones y composición. Antes de empezar, conviene repasar vectores en el plano y geometría analítica en el plano, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de funciones elementales 1º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: concepto de función, dominio y recorrido, funciones elementales, transformaciones de gráficas y simetrías, composición e inversa. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: la tarifa del taxi
Un taxi de Madrid cobra 3,50 € por subir y 1,10 € por cada kilómetro recorrido. Si llamamos \(x\) a los kilómetros, el precio es \(f(x)=3{,}5+1{,}1x\). Esta regla asigna a cada valor de \(x\) un único precio, y esa es la idea de función. Observa la tabla: cada kilómetro suma siempre lo mismo, por eso su gráfica es una recta.
| Kilómetros x | 0 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Precio f(x) (€) | 3,50 | 5,70 | 9,00 | 14,50 |
Pero la realidad es más rica: algunos taxis cobran menos por kilómetro después de cierta distancia, y otras relaciones, como la altura de un balón, el crecimiento de una población o el coste medio de fabricar un producto, no son rectas sino parábolas, curvas con asíntotas o exponenciales. En este tema aprenderás a reconocer las familias de funciones elementales, a calcular su dominio y a transformar sus gráficas para describir situaciones reales.
Concepto de función, dominio y recorrido
Definición: función
Una función \(f:A\to\mathbb{R}\) asigna a cada \(x\) de su dominio un único valor \(f(x)\). El dominio \(\operatorname{Dom}f\) es el conjunto de valores de \(x\) para los que se puede calcular; el recorrido es el conjunto de valores que toma \(f\). Para hallar el dominio de una fórmula hay que excluir:
- los valores que anulan un denominador;
- los valores que hacen negativo el radicando de una raíz de índice par;
- los valores que hacen no positivo el argumento de un logaritmo.
Ejemplo 1
\(f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-6}\)
\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), luego \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}\). Y \(g(x)=\sqrt{x^2-9}\): \(x^2\ge9\Rightarrow\operatorname{Dom}g=(-\infty,-3]\cup[3,+\infty)\).
Cómo se hace: calcular el dominio de una función
- Polinomios: el dominio es \(\mathbb{R}\).
- Cocientes: excluye los ceros del denominador.
- Raíces de índice par: exige radicando \(\ge0\).
- Logaritmos: exige argumento \(>0\). Combina las condiciones.
Ejemplo 2: dominio con raíz y cociente
Halla el dominio de \(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}\).
Se exige \(x-1\ge0\), es decir, \(x\ge1\), y \(x\neq4\). Entonces \(\mathrm{Dom}\,f=[1,4)\cup(4,+\infty)\).
Funciones elementales
Propiedad
Polinómicas. La recta \(y=mx+n\) y la parábola \(y=ax^2+bx+c\), cuyo vértice está en \(x=-\frac{b}{2a}\). Para \(y=x^2-4x+3\): vértice \((2,-1)\), cortes con el eje \(X\) en \(x=1\) y \(x=3\), corte con el eje \(Y\) en \(y=3\); decrece en \((-\infty,2)\), crece en \((2,+\infty)\), y su recorrido es \([-1,+\infty)\).
Propiedad
Racionales. \(y=\frac{P(x)}{Q(x)}\) tiene asíntotas verticales en las raíces de \(Q\) que no anulan \(P\); la asíntota horizontal depende de los grados. Para \(y=\frac{2x+1}{x-1}\): asíntota vertical \(x=1\) y horizontal \(y=2\).
Propiedad
Valor absoluto y funciones a trozos. \(|x-2|\) vale \(x-2\) si \(x\ge2\) y \(2-x\) si \(x<2\). Su gráfica tiene forma de V con vértice en \((2,0)\). Una función definida a trozos usa fórmulas distintas en intervalos distintos.
Transformaciones de gráficas
Observación
A partir de la gráfica de \(f\): \(f(x)+k\) la desplaza \(k\) unidades en vertical; \(f(x-h)\) la desplaza \(h\) en horizontal (a la derecha si \(h>0\)); \(-f(x)\) la refleja respecto del eje \(X\); \(f(-x)\) la refleja respecto del eje \(Y\); \(a\,f(x)\) la estira verticalmente. Así, \((x+2)^2-3\) es la parábola \(x^2\) desplazada 2 a la izquierda y 3 abajo, con vértice en \((-2,-3)\).
Ejemplo 3: transformación de una parábola
Describe cómo se obtiene la gráfica de \(g(x)=(x-2)^2+1\) a partir de \(f(x)=x^2\).
Es la parábola \(y=x^2\) desplazada 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba. Su vértice es \((2,1)\).
Simetrías, composición e inversa
Propiedad
\(f\) es par si \(f(-x)=f(x)\) (simetría respecto del eje \(Y\)) e impar si \(f(-x)=-f(x)\) (simetría respecto del origen). Por ejemplo, \(x^4-3x^2\) es par, \(x^3-x\) es impar y \(x^2+x\) no es ni lo uno ni lo otro.
Propiedad
La composición \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) aplica primero \(f\) y luego \(g\). Con \(f(x)=x+1\) y \(g(x)=x^2\): \((g\circ f)(x)=(x+1)^2\) y \((f\circ g)(x)=x^2+1\); en general no coinciden. La función inversa \(f^{-1}\) deshace \(f\): se despeja \(x\) en \(y=f(x)\) y se intercambian las variables. Para \(f(x)=2x-6\): \(x=\frac{y+6}{2}\), luego \(f^{-1}(x)=\frac{x+6}{2}\). Las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son simétricas respecto de la recta \(y=x\). Una función solo tiene inversa si es inyectiva.
Ejemplo 4: composición e inversa
Con \(f(x)=2x+1\) y \(g(x)=x^2\), calcula \(f\circ g\), \(g\circ f\) y \(f^{-1}\).
\((f\circ g)(x)=f(g(x))=2x^2+1\) y \((g\circ f)(x)=(2x+1)^2\). Para la inversa, se despeja en \(y=2x+1\): \(x=\frac{y-1}{2}\), luego \(f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}\). La composición no es conmutativa.
¡Atención! Errores frecuentes
- Olvidar que el dominio de \(\sqrt{\ \ }\) exige radicando \(\ge0\), pero el de un denominador exige \(\ne0\).
- Confundir \(f(x+2)\) (desplaza a la izquierda) con \(f(x)+2\) (desplaza hacia arriba).
- Escribir \(f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}\): la inversa no es el inverso.
- Suponer que \(g\circ f=f\circ g\).
Funciones definidas a trozos y valor absoluto
Definición: función definida a trozos
Una función está definida a trozos cuando su expresión cambia según el intervalo en el que se encuentre \(x\). Por ejemplo, el valor absoluto \(|x|\) vale \(x\) si \(x\ge0\) y vale \(-x\) si \(x<0\). Para representarla se dibuja cada trozo en su intervalo y se marca con un punto relleno (cierra) o vacío (abre) el extremo de cada tramo.
Cómo se hace: estudiar una función a trozos
- Identifica los intervalos y la expresión de cada uno.
- Calcula las imágenes en los extremos de cada intervalo con las dos expresiones.
- Si las dos imágenes coinciden en el extremo, los trozos se unen (continuidad); si no, hay un salto.
- Dibuja cada trozo y comprueba que el dominio completo queda cubierto.
Ejemplo 5
Representa \(f(x)=\begin{cases}x+2&\text{si }x<1\\ 4-x&\text{si }x\ge1\end{cases}\) y estudia su continuidad en \(x=1\).
El primer trozo es una recta de pendiente 1: pasa por \((0,2)\) y se acerca a \((1,3)\) sin llegar. El segundo es una recta de pendiente \(-1\): pasa por \((1,3)\) y por \((4,0)\). Al acercarnos a \(x=1\) por la izquierda \(f\to3\) y \(f(1)=4-1=3\): coinciden, así que la función es continua y su gráfica tiene forma de pico con vértice en \((1,3)\).
Propiedades globales: monotonía, extremos y acotación
Definición: monotonía, extremos y acotación
Una función es creciente en un intervalo si al aumentar \(x\) aumenta \(f(x)\), y decreciente si disminuye. Un máximo relativo es un punto cuya imagen es mayor que la de los puntos próximos; un mínimo relativo es lo contrario. Si la imagen es la mayor de todo el dominio, el extremo es absoluto. Una función está acotada superiormente si existe un número que es mayor o igual que todas sus imágenes, e inferiormente en el caso contrario. Una función es periódica si repite sus valores cada cierto intervalo de longitud \(T\).
Ejemplo 6
Estudia la monotonía y los extremos de \(f(x)=x^2-6x+5\).
El vértice está en \(x=3\) y \(f(3)=-4\). Como la parábola se abre hacia arriba, decrece en \((-\infty,3)\) y crece en \((3,+\infty)\). Hay un mínimo absoluto de valor \(-4\) en \(x=3\) y no hay máximo. Está acotada inferiormente por \(-4\) pero no superiormente.
Funciones racionales y asíntotas
Cómo se hace: hallar las asíntotas de una función racional
- Calcula el dominio: los ceros del denominador son los candidatos a asíntota vertical.
- Comprueba que en cada uno de esos valores el numerador no se anula; si se anula, simplifica la fracción y revisa.
- Calcula \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\): si es un número \(L\), la recta \(y=L\) es una asíntota horizontal.
- Calcula los cortes con los ejes y el signo de la función para dibujar cada rama.
Propiedad: la hipérbola
La función \(f(x)=\dfrac{k}{x-a}+b\) tiene como gráfica una hipérbola con asíntota vertical \(x=a\) y asíntota horizontal \(y=b\). Si \(k>0\) las dos ramas están en el primer y tercer cuadrante respecto de las asíntotas; si \(k<0\), en el segundo y cuarto. Cualquier función \(\frac{ax+b}{cx+d}\) con \(c\ne0\) se puede escribir así dividiendo.
Ejemplo 7
Escribe \(f(x)=\dfrac{3x+5}{x+1}\) como hipérbola y halla sus asíntotas.
Dividimos: \(3x+5=3(x+1)+2\), de modo que \(f(x)=3+\dfrac{2}{x+1}\). La asíntota vertical es \(x=-1\) y la horizontal es \(y=3\). Como \(k=2>0\), las ramas están a la derecha y arriba, y a la izquierda y abajo, de las asíntotas.
Comparar modelos: lineal, cuadrático y exponencial
Propiedad: ritmos de crecimiento
Una función afín \(y=mx+n\) suma siempre la misma cantidad \(m\) cuando \(x\) aumenta una unidad. Una función exponencial \(y=a\cdot b^x\) con \(b>1\) multiplica siempre por el mismo factor \(b\) y acaba superando a cualquier función lineal o cuadrática. La parábola está en medio: su crecimiento es mayor que el lineal, pero menor que el exponencial. Para decidir qué modelo ajusta unos datos se mira si las diferencias entre valores consecutivos son constantes (lineal) o si lo son los cocientes (exponencial).
Ejemplo 8
Los valores \(2,\ 6,\ 18,\ 54\) corresponden a \(x=0,1,2,3\). ¿Qué modelo siguen?
Las diferencias son \(4,\ 12,\ 36\), no constantes, así que no es lineal. Los cocientes son \(\frac62=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\): constantes. Es exponencial, \(y=2\cdot3^x\).
¡Atención! errores frecuentes con la notación
No confundas \(f(x)^2\) con \(f(x^2)\), ni \(f^{-1}(x)\) con \(\frac{1}{f(x)}\): la inversa es otra función, no el inverso multiplicativo. Tampoco son lo mismo \(f\circ g\) y \(g\circ f\). Y recuerda que, en una composición, se aplica primero la función que está más cerca de \(x\).
¿Sabías que? Nombrar una función
La notación \(f(x)\) para indicar que \(f\) depende de \(x\) la popularizó Leonhard Euler en el siglo XVIII. Antes, los matemáticos describían las relaciones con frases largas. Hoy la usamos para todo, desde la física hasta el diseño de videojuegos. El concepto moderno de función como correspondencia entre conjuntos, sin necesidad de fórmula, llegó en el siglo XIX con Dirichlet.
El consejo de Otto
Para el dominio de una función compuesta, mira primero el de la función interior y luego exige que el resultado entre en el dominio de la exterior.
Cómo usar los apuntes de funciones elementales de 1º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de funciones elementales y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de funciones elementales y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de funciones elementales de 1º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
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