Geometría analítica en el plano – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Definición: vector director

Una recta queda determinada por un punto \(A(x_0,y_0)\) y un vector director \(\vec v=(v_1,v_2)\). Sus ecuaciones son:

• Vectorial: \((x,y)=(x_0,y_0)+t(v_1,v_2)\), \(t\in\mathbb{R}\).
• Paramétricas: \(x=x_0+tv_1\), \(y=y_0+tv_2\).
• Continua: \(\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}\).
• General: \(Ax+By+C=0\), con \(\vec v=(-B,A)\) y vector normal \((A,B)\).
• Explícita: \(y=mx+n\), con pendiente \(m=\frac{v_2}{v_1}\). Punto-pendiente: \(y-y_0=m(x-x_0)\).

Definición: secantes

Dos rectas \(r:Ax+By+C=0\) y \(s:A'x+B'y+C'=0\) son secantes si \(\frac{A}{A'}\ne\frac{B}{B'}\); paralelas si \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}\ne\frac{C}{C'}\); coincidentes si las tres razones son iguales. Para hallar el punto de corte se resuelve el sistema: \(x+y=5\) y \(2x-y=1\) dan \((2,3)\).

Definición: ángulo

El ángulo entre dos rectas es el menor formado por sus vectores directores: \(\cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}\), o con pendientes, \(\tan\alpha=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|\). Son perpendiculares si \(m_1m_2=-1\).

Definición: lugar geométrico

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una propiedad. La mediatriz de \(AB\) es el lugar de los puntos equidistantes de \(A\) y \(B\) (una recta). Las cónicas son los lugares siguientes (con centro en el origen y ejes paralelos a los de coordenadas):

• Circunferencia (distancia constante \(r\) al centro \((a,b)\)): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Si aparece \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), el centro es \(\left(-\frac D2,-\frac E2\right)\) y \(r^2=\frac{D^2}{4}+\frac{E^2}{4}-F\).
• Elipse (suma de distancias a dos focos constante, \(2a\)): \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), con \(c^2=a^2-b^2\), focos \((\pm c,0)\) y excentricidad \(e=\frac ca<1\).
• Hipérbola (diferencia de distancias constante, \(2a\)): \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\), con \(c^2=a^2+b^2\) y asíntotas \(y=\pm\frac bax\).
• Parábola (equidista del foco y de la directriz): \(y^2=2px\), con foco \(\left(\frac p2,0\right)\) y directriz \(x=-\frac p2\).

Definición: lugar geométrico

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una misma propiedad. La mediatriz de un segmento es el lugar de los puntos que equidistan de sus extremos. La bisectriz de dos rectas es el lugar de los puntos que equidistan de ellas. La circunferencia es el lugar de los puntos que están a distancia fija \(r\) de un centro.

Definición: cónicas

Una elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a dos focos \(F\) y \(F'\) es constante, \(2a\). Una hipérbola es el lugar de los puntos cuya diferencia de distancias a los focos es constante, \(2a\). Una parábola es el lugar de los puntos que equidistan de un foco y de una recta llamada directriz. Las tres se obtienen al cortar un cono con un plano, por eso se llaman cónicas.