Funciones exponenciales y logarítmicas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

La función exponencial de base \(a\) (\(a>0\), \(a\ne1\)) es \(f(x)=a^x\). Su dominio es \(\mathbb{R}\) y su recorrido \((0,+\infty)\). Siempre pasa por \((0,1)\) y por \((1,a)\), y el eje \(X\) (\(y=0\)) es una asíntota horizontal. Si \(a>1\) es creciente; si \(0<a<1\) es decreciente. La base más importante es el número \(e\approx2{,}718\).

Propiedad

\(f(x)=\log_ax\) es la función inversa de \(a^x\): sus gráficas son simétricas respecto de la recta \(y=x\). Su dominio es \((0,+\infty)\), su recorrido \(\mathbb{R}\), pasa por \((1,0)\) y tiene la asíntota vertical \(x=0\). Es creciente si \(a>1\).

Propiedad

Exponenciales. Se igualan las bases (\(3^{x-1}=81\Rightarrow x-1=4\)) o se hace un cambio de variable. Para \(4^x-3\cdot2^x-4=0\) se pone \(t=2^x\): \(t^2-3t-4=0\Rightarrow t=4\) o \(t=-1\). Como \(2^x>0\), solo vale \(t=4\), luego \(x=2\).

Propiedad

Logarítmicas. Se agrupan los logaritmos con las propiedades y se pasa a forma exponencial. \(\log x+\log(x-3)=1\Rightarrow\log[x(x-3)]=1\Rightarrow x^2-3x=10\Rightarrow x=5\) o \(x=-2\). Hay que comprobar el dominio: \(x=-2\) haría negativos los argumentos, así que la solución es \(x=5\).

Propiedad

El interés compuesto da el capital final \(C=C_0(1+r)^t\): 5000 € al 3 % anual durante 10 años dan \(5000\cdot1{,}03^{10}\approx6\,719{,}58\) €. Para saber cuándo se duplica, \(1{,}03^t=2\Rightarrow t=\frac{\ln2}{\ln1{,}03}\approx23{,}4\) años. La desintegración radiactiva sigue \(N(t)=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T}\), con \(T\) el periodo de semidesintegración.

Propiedad: modelos de crecimiento y de decrecimiento

Una magnitud que se multiplica por el mismo factor \(b\) en cada unidad de tiempo sigue el modelo \(y=y_0\cdot b^t\). Si aumenta un \(r\) % cada periodo, el factor es \(b=1+\frac{r}{100}\); si disminuye un \(r\) %, es \(b=1-\frac{r}{100}\). El tiempo de duplicación es la solución de \(b^t=2\) y el periodo de semidesintegración o vida media, la de \(b^t=\frac12\). Los dos tiempos no dependen de la cantidad inicial \(y_0\).

Propiedad: las gráficas de \(a^x\) y de \(\log_a x\)

Las funciones \(y=a^x\) e \(y=\log_a x\) son inversas, de modo que sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz \(y=x\). La exponencial pasa por \((0,1)\) y \((1,a)\), tiene dominio \(\mathbb{R}\), recorrido \((0,+\infty)\) y asíntota horizontal \(y=0\). La logarítmica pasa por \((1,0)\) y \((a,1)\), tiene dominio \((0,+\infty)\), recorrido \(\mathbb{R}\) y asíntota vertical \(x=0\). Las dos son crecientes si \(a>1\) y decrecientes si \(0<a<1\). Al trasladar, por ejemplo \(y=2^{x-3}+1\), la gráfica se desplaza 3 unidades a la derecha y 1 hacia arriba, y la asíntota pasa a ser \(y=1\).