Trigonometría – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: medir lo que no se puede tocar

Hacia el año 240 a. C., Eratóstenes midió el tamaño de la Tierra sin salir de Egipto. Sabía que en Siena, el día del solsticio, el Sol caía vertical, mientras que en Alejandría, a unos 800 km al norte, un palo proyectaba una sombra que indicaba un ángulo de \(7{,}2^\circ\). Como \(7{,}2^\circ\) es la cincuentava parte de la circunferencia, dedujo que la vuelta a la Tierra medía unos \(50\cdot800=40\,000\) km. ¡Muy cerca del valor real! La trigonometría nació así, para medir distancias inaccesibles: la altura de una torre, la anchura de un río, la distancia a un barco o a una estrella. En este tema ampliarás lo que sabes de 4.º de ESO: trabajarás con ángulos de cualquier tamaño y en radianes, aprenderás las fórmulas de suma, diferencia, ángulo doble y ángulo mitad, y resolverás triángulos cualesquiera con los teoremas del seno y del coseno.

Observación

Valores notables: \(\operatorname{sen}30^\circ=\frac12\), \(\operatorname{sen}45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\); \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\cos60^\circ=\frac12\); \(\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\), \(\tan45^\circ=1\), \(\tan60^\circ=\sqrt3\).

Observación

\(\operatorname{sen}(a\pm b)=\operatorname{sen}a\cos b\pm\cos a\operatorname{sen}b\); \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b\); \(\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\). Para el ángulo doble: \(\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen}a\cos a\), \(\cos2a=\cos^2a-\operatorname{sen}^2a\).

Observación: qué teorema usar en cada caso

Resolver un triángulo es calcular sus tres lados y sus tres ángulos a partir de tres datos, de los que al menos uno debe ser un lado. Hay cuatro casos. Si se conocen un lado y dos ángulos, se calcula el tercer ángulo restando de \(180^\circ\) y los lados con el teorema del seno. Si se conocen dos lados y el ángulo que forman, se calcula el tercer lado con el teorema del coseno. Si se conocen los tres lados, se calculan los ángulos con el teorema del coseno. Y si se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, se usa el teorema del seno, y puede haber dos triángulos, uno o ninguno: es el caso ambiguo.

¿Sabías que? Las tablas de cuerdas

El astrónomo griego Hiparco, en el siglo II a. C., construyó la primera tabla de «cuerdas», antecesora de las tablas de senos. Los matemáticos indios transformaron la cuerda en la media cuerda, que es nuestro seno, y los árabes la transmitieron a Europa. La palabra «seno» viene de una mala traducción al latín de un término árabe que significaba «bahía» o «pliegue». Siglos más tarde, en el XVIII, los geodestas que midieron el meridiano de París a Barcelona usaron cadenas de triángulos, la triangulación, y gracias a sus cálculos se definió el metro como la diezmillonésima parte de la distancia del polo norte al ecuador. Hoy los receptores GPS de los móviles siguen resolviendo, a gran velocidad, problemas de distancias y ángulos.