Números reales, vectores y relaciones – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad

En Matemáticas I se trabaja con el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, que reúne a los racionales \(\mathbb{Q}\) (decimales exactos o periódicos, que se escriben como fracción) y a los irracionales (infinitas cifras sin periodo: \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{7}\)). Se cumple \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Cada número real corresponde a un punto de la recta y viceversa, por eso se pueden ordenar y medir distancias.

Propiedad

La fracción generatriz de un periódico se obtiene restando. Para \(x=1{,}2\overline{5}\): \(10x=12{,}\overline{5}\) y \(100x=125{,}\overline{5}\); restando, \(90x=113\), luego \(x=\frac{113}{90}\).

Propiedad

Para simplificar se extraen factores: \(\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=6\sqrt{2}\). Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): \(\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice se reducen a índice común: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}=2^{1/2}\cdot2^{1/3}=2^{5/6}=\sqrt[6]{32}\).

Propiedad

Racionalizar es quitar los radicales del denominador. Si el denominador es \(\sqrt{a}\), se multiplica arriba y abajo por \(\sqrt{a}\): \(\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\). Si es un binomio con raíces, se multiplica por el conjugado y se usa \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Propiedad

Un número está en notación científica si es \(a\cdot10^n\) con \(1\le a<10\) y \(n\in\mathbb{Z}\). Para multiplicar se multiplican las mantisas y se suman los exponentes: \((3\cdot10^5)(4\cdot10^{-8})=12\cdot10^{-3}=1{,}2\cdot10^{-2}\). Al aproximar un valor real \(v\) por \(a\) se comete un error absoluto \(E_a=|v-a|\) y un error relativo \(E_r=\frac{E_a}{|v|}\), que suele darse en porcentaje.

Propiedad: la recta real no tiene huecos

A cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto un número real. Entre dos números reales distintos, por cerca que estén, hay infinitos racionales e infinitos irracionales: se dice que ambos conjuntos son densos. Los racionales, sin embargo, dejan «agujeros» (como el punto que corresponde a \(\sqrt2\)), y los irracionales los rellenan. Por eso los números reales son el conjunto adecuado para medir longitudes, tiempos o temperaturas.

Propiedad: reglas del valor absoluto

Para todo par de números reales: \(|a|\ge0\) y solo vale 0 si \(a=0\); \(|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\); \(|a+b|\le|a|+|b|\) (desigualdad triangular); \(|a|=\sqrt{a^2}\). Además, si \(r>0\): \(|x|<r\Leftrightarrow-r<x<r\) y \(|x|>r\Leftrightarrow x<-r\) o \(x>r\). La expresión \(|x-a|<r\) describe el entorno de centro \(a\) y radio \(r\), que en el lenguaje cotidiano corresponde a frases como «un valor de \(a\) con un margen de \(r\)».