Números reales, vectores y relaciones – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Llamamos \(x=0{,}3666\ldots\). Multiplicamos por 100 y por 10 para dejar el periodo detrás de la coma: \(100x=36{,}66\ldots\) y \(10x=3{,}66\ldots\). Restando, \(90x=33\), luego \(x=\frac{33}{90}=\frac{11}{30}\).
   2. La intersección son los números comunes a los dos intervalos: \(A\cap B=[1,4]\). La unión, los que están en alguno: \(A\cup B=(-2,7)\).
   3. \(|x+1|\le3\) equivale a \(-3\le x+1\le3\), es decir, \(x\in[-4,2]\). \(|3x-6|\gt 9\) da dos casos: \(3x-6\gt 9\), con \(x\gt 5\), o \(3x-6\lt -9\), con \(x\lt -1\). Solución: \((-\infty,-1)\cup(5,+\infty)\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Simplificamos cada radical extrayendo factores: \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3\), \(2\sqrt{12}=2\cdot2\sqrt3=4\sqrt3\) y \(3\sqrt{27}=3\cdot3\sqrt3=9\sqrt3\). Son semejantes: \(5\sqrt3-4\sqrt3+9\sqrt3=10\sqrt3\). Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando).
   2. Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt3+1\): \(\dfrac{6(\sqrt3+1)}{(\sqrt3)^2-1}=\dfrac{6(\sqrt3+1)}{2}=3\sqrt3+3\). Al multiplicar por el conjugado aparece una suma por diferencia, que elimina la raíz del denominador: \((\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2\).
   3. \(32^{3/5}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8\). Para el producto pasamos a exponentes fraccionarios y los sumamos: \(3^{1/2}\cdot3^{1/4}=3^{3/4}\). Comprobación: \(\sqrt[5]{32}=2\) porque \(2^5=32\); y \(\frac12+\frac14=\frac34\), es decir, el resultado es \(\sqrt[4]{27}\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Multiplicamos las mantisas y sumamos los exponentes: \((1{,}2\cdot4)\cdot10^{-3+5}=4{,}8\cdot10^{2}\). La mantisa ya está entre 1 y 10. Comprobación: \(0{,}0012\cdot400\,000=480\).
   2. Dividimos las mantisas y restamos los exponentes: \(\frac{7{,}2}{1{,}8}\cdot10^{9-(-2)}=4\cdot10^{11}\). Comprobación: \(7\,200\,000\,000:0{,}018=400\,000\,000\,000\). Restar \(-2\) en el exponente equivale a sumar 2.
   3. Para sumar hay que igualar exponentes: \(4\cdot10^5=0{,}4\cdot10^6\). Entonces \(3{,}5\cdot10^6+0{,}4\cdot10^6=3{,}9\cdot10^6\). No basta con sumar las mantisas 3,5 y 4: los exponentes son distintos. Comprobación: \(3\,500\,000+400\,000=3\,900\,000\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Error absoluto: \(E_a=|3{,}16228-3{,}16|\approx0{,}00228\). Error relativo: \(E_r=\frac{E_a}{\text{valor exacto}}\approx\frac{0{,}00228}{3{,}16228}\approx0{,}00072\), es decir, un \(0{,}072\,\%\). El error relativo mide el error en proporción al tamaño del número y permite comparar aproximaciones de magnitudes distintas.
   2. Redondeando a las décimas se obtiene 3,2, con error absoluto \(|3{,}2-3{,}16228|\approx0{,}0377\) y error relativo de un 1,19 %. Como 3,16 tiene un error relativo unas 16 veces menor, es una aproximación mucho mejor. En concreto, \(0{,}0377:0{,}00228\approx16{,}5\).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. El área de un cuadrado es \(\ell^2=20\), luego \(\ell=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\approx4{,}47\) m. Comprobación: \(4{,}47^2\approx19{,}98\).
   2. El perímetro es \(4\ell=8\sqrt5\approx17{,}89\) m. Como la valla se vende por metros enteros y no puede faltar, hay que comprar 18 m, que cuestan \(18\cdot12{,}50=225\) €. Comprar 17 m no bastaría, porque \(17\lt 17{,}89\).
   3. Por Pitágoras, \(d=\sqrt{\ell^2+\ell^2}=\ell\sqrt2=2\sqrt5\cdot\sqrt2=2\sqrt{10}\approx6{,}32\) m. El cociente es \(\frac{\ell}{d}=\frac{1}{\sqrt2}\), que racionalizado da \(\frac{\sqrt2}{2}\). Comprobación: \(\frac{4{,}47}{6{,}32}\approx0{,}707\approx\frac{\sqrt2}{2}\).

Total : 20 puntos