Ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Primer término: \(\frac{2x^3}{x^2}=2x\); restamos \(2x(x^2-x+1)=2x^3-2x^2+2x\) y queda \(-x^2+2x-5\). Segundo término: \(-1\); restamos \(-(x^2-x+1)\) y queda \(x-4\). Cociente \(C(x)=2x-1\) y resto \(R(x)=x-4\).
   2. \((x^2-x+1)(2x-1)=2x^3-x^2-2x^2+x+2x-1=2x^3-3x^2+3x-1\). Sumando \(x-4\): \(2x^3-3x^2+4x-5=P(x)\).
   3. Grado 1. La división termina cuando el resto tiene grado menor que el divisor, porque ya no se puede dividir más.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Coeficientes \(1,\,-4,\,1,\,6\) y raíz 2: se obtiene \(1,\,-2,\,-3\) y resto \(0\). Cociente \(x^2-2x-3\), resto 0.
   2. \(P(-1)=-1-4-1+6=0\): por el teorema del factor, \(x+1\) divide a \(P(x)\).
   3. Debe ser \(P(2)=0\): \(8+4k-4=0\Rightarrow k=-1\).
   4. El resto de dividir \(P(x)\) entre \(x-a\) es el valor numérico \(P(a)\). Por eso \(x-a\) es un factor si y solo si \(P(a)=0\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Las raíces enteras deben dividir al término independiente, 6. Probando: \(P(-1)=-1-4-1+6=0\), \(P(2)=8-16+2+6=0\) y \(P(3)=27-36+3+6=0\). Como es de grado 3 y tiene tres raíces, \(P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)\).
   2. Es bicuadrado: con \(t=x^2\), \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\). Deshaciendo el cambio, \((x^2-1)(x^2-4)\), y cada factor es una diferencia de cuadrados: \((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\). Raíces \(\pm1\) y \(\pm2\).
   3. Sacamos factor común \(2x\) y aplicamos la diferencia de cuadrados: \(2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)\). Raíces \(0\) y \(\pm2\).
   4. Factor común \(x\); lo que queda es un cuadrado perfecto: \(x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\). Raíces \(0\) y \(3\), esta última doble.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Factorizamos: el numerador es una diferencia de cuadrados, \((x-3)(x+3)\), y el denominador tiene raíces \(-3\) y \(2\), \((x+3)(x-2)\). Simplificando el factor común: \(\dfrac{x-3}{x-2}\).
   2. El denominador común es \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Ajustamos los numeradores: \(\dfrac{(x+1)+2(x-1)}{x^2-1}=\dfrac{3x-1}{x^2-1}\).
   3. Factorizamos antes de multiplicar para simplificar: \(\dfrac{(x-2)(x+2)\cdot3x}{x(x+2)}=3(x-2)=3x-6\), válido para \(x\ne0\) y \(x\ne-2\).
   4. Una fracción no está definida donde se anula su denominador original: \(x^2+x-6=0\), es decir, \(x=-3\) o \(x=2\). Aunque al simplificar desaparezca el factor \(x+3\), el valor \(-3\) sigue excluido.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Es bicuadrada. Con \(t=x^2\): \(t^2-13t+36=0\), con \(t=4\) o \(t=9\). Deshaciendo el cambio: \(x^2=4\) da \(x=\pm2\) y \(x^2=9\) da \(x=\pm3\). Cuatro soluciones.
   2. Probamos divisores de 6: \(x=1\) es raíz porque \(1-6+11-6=0\). Por Ruffini queda \(x^2-5x+6=0\), con \(x=2\) y \(x=3\). Soluciones: \(1\), \(2\) y \(3\).
   3. Con \(t=x^2\): \(t^2-t-12=0\), con \(t=4\) o \(t=-3\). \(x^2=4\) da \(x=\pm2\); \(x^2=-3\) no tiene solución real porque un cuadrado no puede ser negativo.
   4. Agrupamos de dos en dos: \(x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=0\). Soluciones: \(2\), \(1\) y \(-1\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Multiplicando por \(2x(x+3)\): \(2(x+3)+2x=x(x+3)\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x=3\) o \(x=-2\). Ninguna anula los denominadores: las dos son válidas.
   2. \(2x+3=x^2\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3\) o \(x=-1\). Comprobación: \(\sqrt9=3\) sí; \(\sqrt1=1\ne-1\) no. Solución: \(x=3\).
   3. \(\sqrt{x+5}=x-1\Rightarrow x+5=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=4\) o \(x=-1\). Comprobación: \(\sqrt9+1=4\) sí; \(\sqrt4+1=3\ne-1\) no. Solución: \(x=4\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Al recortar \(x\) en cada esquina, la base mide \((30-2x)\) por \((20-2x)\) y la altura es \(x\): \(V(x)=x(30-2x)(20-2x)\). Todas las medidas deben ser positivas, así que \(0<x<10\).
   2. \(V(5)=5\cdot(30-10)\cdot(20-10)=5\cdot20\cdot10=1\,000\) cm³.
   3. Desarrollando, \(4x^3-100x^2+600x-1\,000=0\), y dividiendo entre 4, \(x^3-25x^2+150x-250=0\). Ruffini con 5 da el cociente \(x^2-20x+50\), cuyas raíces son \(x=10\pm5\sqrt2\), es decir, \(17{,}07\) y \(2{,}93\).
   4. Solo \(x=5\) y \(x\approx2{,}93\) están entre 0 y 10. Las cajas posibles miden \(20\times10\times5\) cm, o aproximadamente \(24{,}14\times14{,}14\times2{,}93\) cm.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El precio total se reparte entre los \(x\) alumnos: cada uno paga \(\dfrac{600}{x}\) euros.
   2. Con \(x+5\) alumnos cada uno pagaría \(\frac{600}{x+5}\), que es 4 € menos: \(\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x+5}=4\).
   3. Multiplicando por \(x(x+5)\): \(600(x+5)-600x=4x(x+5)\), es decir, \(3\,000=4x^2+20x\), o \(x^2+5x-750=0\). Las soluciones son \(x=25\) y \(x=-30\); se descarta \(-30\) porque el número de alumnos es positivo.
   4. Van 25 alumnos y cada uno paga \(\frac{600}{25}=24\) €. Con 30 alumnos pagarían \(\frac{600}{30}=20\) €, que son 4 € menos, como dice el enunciado.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(24\) min \(=0{,}4\) h, así que \(2{,}4\) h \(=\frac{12}{5}\) h.
   2. El primero llena \(\frac1x\) y el segundo \(\frac1{x+2}\) del depósito por hora.
   3. \(\dfrac1x+\dfrac1{x+2}=\dfrac{5}{12}\Rightarrow12(x+2)+12x=5x(x+2)\Rightarrow5x^2-14x-24=0\Rightarrow x=\dfrac{14\pm\sqrt{196+480}}{10}=\dfrac{14\pm26}{10}\), es decir, \(x=4\) o \(x=-1{,}2\).
   4. El primero tarda 4 horas y el segundo 6. Comprobación: \(\frac14+\frac16=\frac{5}{12}\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. El perímetro da \(2x+2y=70\), es decir, \(x+y=35\). La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(x\) e \(y\), así que, por Pitágoras, \(x^2+y^2=625\).
    2. Despejamos \(y=35-x\) y sustituimos: \(x^2+(35-x)^2=625\), es decir, \(2x^2-70x+600=0\), o \(x^2-35x+300=0\). Las soluciones son \(x=20\) y \(x=15\), y entonces \(y=15\) o \(y=20\). Los lados miden 20 m y 15 m.
    3. Área \(=20\cdot15=300\) m².
    4. Con diagonal 20: \(x^2+(35-x)^2=400\), es decir, \(2x^2-70x+825=0\), con discriminante \(4\,900-6\,600<0\). No hay solución: con 35 m de semiperímetro la diagonal mínima, la del cuadrado, es \(\frac{35}{\sqrt2}\approx24{,}7\) m.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Igualamos las dos expresiones de \(y\): \(x^2-4x+5=x+1\), es decir, \(x^2-5x+4=0\). Las soluciones son \(x=1\) y \(x=4\).
    2. Sustituimos en la recta: para \(x=1\), \(y=2\); para \(x=4\), \(y=5\). Los perfiles se cortan en \((1,2)\) y \((4,5)\).
    3. La pasarela está por encima si \(x+1>x^2-4x+5\), es decir, \(x^2-5x+4<0\). La parábola \(x^2-5x+4\) es negativa entre sus raíces: \(1<x<4\).
    4. El tobogán es una parábola hacia arriba; su punto más bajo es el vértice, en \(x=\frac{4}{2}=2\), con \(y=4-8+5=1\). La altura mínima es 1 m.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Las raíces de \(x^2-5x+6\) son 2 y 3. Como la parábola se abre hacia arriba, es negativa entre las raíces: la solución es \((2,3)\).
    2. Las raíces de \(x^2-4\) son \(\pm2\). La parábola es positiva fuera de ellas y, al ser \(\ge\), los extremos se incluyen: \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\).
    3. Multiplicamos por \(-1\), cambiando el sentido: \(x^2-2x-8<0\). Sus raíces son \(-2\) y \(4\), y la parábola es negativa entre ellas: \((-2,4)\).
    4. El discriminante es \(1-4=-3<0\): la parábola no corta al eje. Como el coeficiente principal es positivo, está siempre por encima: la desigualdad se cumple para todo \(x\in\mathbb{R}\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. Valores críticos \(-3\) y \(1\). Tabla de signos: la fracción es negativa en \((-3,1)\) y vale 0 en \(x=1\). Solución: \((-3,1]\).
    2. \(\dfrac{2x+1}{x-2}-1>0\Rightarrow\dfrac{x+3}{x-2}>0\). Positiva en \((-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\).
    3. En \(x=-3\) el denominador se anula y la fracción no existe; en \(x=1\) vale 0, que cumple \(\le0\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. 500 pares son \(x=5\) centenares: \(B(5)=-25+200-300=-125\), una pérdida de 125 000 €. 2 000 pares son \(x=20\): \(B(20)=-400+800-300=100\), una ganancia de 100 000 €.
    2. \(B(x)>0\) equivale a \(x^2-40x+300<0\). Las raíces son 10 y 30, y la parábola es negativa entre ellas: hay beneficio entre 1 000 y 3 000 pares, sin incluir los extremos.
    3. \(B\) es una parábola hacia abajo; su máximo está en el vértice, \(x=\frac{-40}{-2}=20\). Debe fabricar 2 000 pares y obtiene 100 000 € de beneficio.
    4. \(-x^2+40x-300>75\) equivale a \(x^2-40x+375<0\), con raíces 15 y 25: entre 1 500 y 2 500 pares.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\begin{cases}x+y\le30\\2x+y\le50\\x\ge0,\ y\ge0\end{cases}\)
    2. Las rectas \(x+y=30\) y \(2x+y=50\) se cortan en \(x=20\), \(y=10\). Vértices: \((0,0)\), \((25,0)\), \((20,10)\) y \((0,30)\).
    3. \((10,10)\): sí. \((20,5)\): sí. \((25,10)\): no, porque \(25+10=35>30\). \((5,20)\): sí.
    4. \((0,0)\): 0 €; \((25,0)\): 200 €; \((20,10)\): \(160+60=220\) €; \((0,30)\): 180 €. El mejor es 20 de chocolate y 10 de queso.
    5. El beneficio aumenta al alejarse del origen en la dirección \((8,6)\); las rectas de igual beneficio se desplazan hasta tocar la región por última vez en un vértice.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Vértice en \(t=\frac{-20}{-10}=2\) s; \(h(2)=-20+40+1{,}5=21{,}5\) m.
    2. \(-5t^2+20t-15>0\Rightarrow t^2-4t+3<0\), con raíces 1 y 3: \(t\in(1,3)\).
    3. Durante \(3-1=2\) segundos.
    4. \(-5t^2+20t+1{,}5=0\Rightarrow t=\dfrac{20\pm\sqrt{400+30}}{10}\); la positiva es \(t\approx4{,}07\) s.
    5. La otra, \(t\approx-0{,}07\), es negativa y no tiene sentido físico: corresponde a un instante anterior al lanzamiento.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Precio \(12+x\), menús \(200-10x\) e \(I(x)=(12+x)(200-10x)=-10x^2+80x+2\,400\).
    2. \(-10x^2+80x+2\,400\ge2\,560\Rightarrow10x^2-80x+160\le0\Rightarrow x^2-8x+16\le0\).
    3. \((x-4)^2\le0\) solo se cumple para \(x=4\): hay una única subida que lo consigue.
    4. El máximo de \(I\) está en el vértice, \(x=4\): precio 16 €, 160 menús e ingresos de 2 560 €.
    5. Los costes de cada menú, la competencia de la zona y la satisfacción de los clientes habituales: el ingreso no es lo mismo que el beneficio.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Tiempo \(=\) distancia entre velocidad: \(t=\dfrac{60}{v}\) horas.
    2. A velocidad \(v+5\) tardaría \(\frac{60}{v+5}\), una hora menos: \(\dfrac{60}{v}-\dfrac{60}{v+5}=1\).
    3. Multiplicando por \(v(v+5)\): \(60(v+5)-60v=v(v+5)\), es decir, \(v^2+5v-300=0\). Las soluciones son \(v=15\) y \(v=-20\); se descarta la negativa. La ciclista va a 15 km/h y tarda \(\frac{60}{15}=4\) h.
    4. A \(15+5=20\) km/h tardaría \(\frac{60}{20}=3\) h, exactamente una hora menos que 4 h.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(V(x)=x(x+3)(x-1)=x^3+2x^2-3x\).
    2. \(x^3+2x^2-3x-84=0\). Probando: \(x=4\) da \(64+32-12-84=0\).
    3. Cociente \(x^2+6x+21\), con discriminante \(36-84<0\): no tiene raíces reales. La única solución es \(x=4\).
    4. Ancho 4 m, largo 7 m y profundidad 3 m.
    5. \(84\) m³ \(=84\,000\) L. Fondo \(4\cdot7=28\) m² y paredes \(2\cdot7\cdot3+2\cdot4\cdot3=42+24=66\) m²: en total 94 m².

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\Delta=m^2-36\). Raíz doble si \(m=\pm6\); dos raíces si \(m<-6\) o \(m>6\); ninguna real si \(-6<m<6\).
    2. \((x+y)^2=25+24=49\Rightarrow x+y=\pm7\); \((x-y)^2=25-24=1\Rightarrow x-y=\pm1\). Soluciones: \((4,3)\), \((3,4)\), \((-3,-4)\) y \((-4,-3)\).
    3. Raíces \(r\) y \(2r\): suma \(3r=7\Rightarrow r=\frac73\); producto \(m=2r^2=\frac{98}{9}\).