Estos apuntes de números complejos de 1º Bachillerato Ciencias están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Forma binómica, polar y operaciones. Antes de empezar, conviene repasar trigonometría y funciones y ecuaciones trigonométricas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de números complejos 1º Bachillerato Ciencias: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: la unidad imaginaria y la forma binómica, operaciones, representación y forma polar y operaciones en forma polar. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: una raíz que no debería existir
Desde 4.º de ESO sabes que la ecuación \(x^2+1=0\) «no tiene solución», porque ningún número real elevado al cuadrado da \(-1\). Pero en el siglo XVI los algebristas italianos, al resolver ecuaciones de tercer grado, se encontraron con raíces de números negativos en mitad de los cálculos… y al final obtenían soluciones reales correctas. Decidieron entonces aceptar un número nuevo, \(i\), con \(i^2=-1\), y operar con él siguiendo las reglas de siempre. Hoy esos números, los números complejos, son imprescindibles: con ellos se calculan los circuitos eléctricos de tu casa, se programan los giros de los videojuegos, se procesan las señales de audio de tu móvil y se dibujan fractales. En este tema aprenderás a escribirlos en forma binómica y en forma polar, a operar con ellos, a representarlos en el plano y a calcular sus raíces.
La unidad imaginaria y la forma binómica
Definición: unidad imaginaria
La ecuación \(x^2+1=0\) no tiene solución real. Se define la unidad imaginaria \(i\) con \(i^2=-1\), de modo que \(\sqrt{-16}=4i\). Un número complejo en forma binómica es \(z=a+bi\), con \(a\) la parte real y \(b\) la parte imaginaria. El conjunto de todos ellos es \(\mathbb{C}\), y \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Las potencias de \(i\) se repiten con periodo 4: \(i^0=1\), \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\). Por eso \(i^{23}=i^{3}=-i\) (23 dividido entre 4 da resto 3).
Con ello, toda ecuación de segundo grado tiene solución en \(\mathbb{C}\): \(x^2-2x+5=0\) da \(x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm2i\).
Operaciones
Propiedad: operaciones
- Suma y resta: \((a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i\).
- Producto: se aplica la propiedad distributiva con \(i^2=-1\): \((2+3i)(1-4i)=2-8i+3i-12i^2=14-5i\).
- Conjugado de \(z=a+bi\): \(\bar z=a-bi\). Se cumple \(z\bar z=a^2+b^2\) (real).
- Cociente: se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador: \(\frac{5+i}{2-i}=\frac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{9+7i}{5}\).
Cómo se hace: dividir números complejos en forma binómica
- Multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
- Desarrolla el denominador: \((c+di)(c-di)=c^2+d^2\).
- Desarrolla el numerador usando \(i^2=-1\) y separa parte real e imaginaria.
Ejemplo 1: producto y cociente
Calcula \((2+3i)(1-i)\) y \(\frac{1+i}{1-i}\).
\((2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i\). Y \(\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i\).
Representación y forma polar
Propiedad
Cada \(z=a+bi\) se representa por el punto \((a,b)\) del plano de Argand (su afijo), con eje real horizontal y eje imaginario vertical. El módulo es \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) (distancia al origen) y el argumento \(\theta\) es el ángulo con el semieje real positivo, con \(\tan\theta=\frac{b}{a}\) (cuidado con el cuadrante).
Definición: forma polar
La forma polar es \(z=r_\theta\), y la trigonométrica \(z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)\). Para \(z=-1+\sqrt3i\): \(r=\sqrt{1+3}=2\); el punto está en el 2.º cuadrante y \(\tan\theta=-\sqrt3\), así que \(\theta=120^\circ\). Luego \(z=2_{120^\circ}\). Al revés, \(4_{60^\circ}=4\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2+2\sqrt3\,i\).
Operaciones en forma polar
Propiedad: operaciones en forma polar
- Producto: \(r_\alpha\cdot s_\beta=(rs)_{\alpha+\beta}\). Ejemplo: \(3_{40^\circ}\cdot2_{50^\circ}=6_{90^\circ}=6i\).
- Cociente: \(\frac{r_\alpha}{s_\beta}=\left(\frac rs\right)_{\alpha-\beta}\).
- Potencia (Moivre): \((r_\alpha)^n=(r^n)_{n\alpha}\). Ejemplo: \((1+i)^8=(\sqrt2_{45^\circ})^8=16_{360^\circ}=16\).
- Raíces n-ésimas: las \(n\) raíces de \(r_\alpha\) son \(\sqrt[n]{r}_{\frac{\alpha+360^\circ k}{n}}\), con \(k=0,1,\dots,n-1\); forman un polígono regular de \(n\) lados.
Ejemplo 2
Las raíces cúbicas de 8 (\(8=8_{0^\circ}\)) son \(2_{0^\circ}=2\), \(2_{120^\circ}=-1+\sqrt3i\) y \(2_{240^\circ}=-1-\sqrt3i\): los vértices de un triángulo equilátero.
Observación
Multiplicar por \(i=1_{90^\circ}\) gira un punto \(90^\circ\) alrededor del origen: \((2+i)\cdot i=-1+2i\). La distancia entre los afijos de \(z\) y \(w\) es \(|z-w|\).
Ejemplo 3: potencia en forma polar
Calcula \((1+i)^4\) con la forma polar.
\(1+i=\sqrt{2}_{45^\circ}\). Entonces \((1+i)^4=(\sqrt{2})^4_{\,4\cdot45^\circ}=4_{180^\circ}=-4\).
¡Atención! Errores frecuentes
- Escribir \(i^2=1\) o \(\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=\sqrt{ab}\) (falso con raíces negativas).
- Dar el argumento sin mirar el cuadrante: \(\tan\theta=\frac ba\) tiene dos ángulos posibles.
- No multiplicar por el conjugado al dividir.
- Olvidar las \(n\) raíces de un número complejo (solo se da la principal).
Potencias de la unidad imaginaria
Propiedad: las potencias de i se repiten cada cuatro
Como \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\) e \(i^4=1\), a partir de ahí los valores vuelven a empezar. Para calcular \(i^n\) se divide \(n\) entre 4 y se usa el resto: \(i^n=i^{\text{resto}}\). Por ejemplo, \(i^{35}=i^3=-i\), porque \(35=4\cdot8+3\). Este ciclo tiene una interpretación geométrica: multiplicar por \(i\) es girar \(90^\circ\), y cuatro giros de \(90^\circ\) dan una vuelta completa.
Ecuaciones con soluciones complejas
Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica de grado \(n\) con coeficientes complejos tiene exactamente \(n\) soluciones complejas, contando su multiplicidad. Si los coeficientes son reales, las soluciones no reales aparecen siempre en parejas de complejos conjugados \(a\pm bi\). En particular, una ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) con discriminante \(\Delta=b^2-4ac<0\) tiene las soluciones \(x=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
Ejemplo 4
Resuelve \(x^3-3x^2+4x-2=0\).
Probamos divisores del término independiente: \(x=1\) da \(1-3+4-2=0\). Por Ruffini, \(x^3-3x^2+4x-2=(x-1)(x^2-2x+2)\). La ecuación \(x^2-2x+2=0\) tiene \(\Delta=4-8=-4\), así que \(x=\frac{2\pm2i}{2}=1\pm i\). Las tres soluciones son \(1\), \(1+i\) y \(1-i\): una real y dos complejas conjugadas, como predice el teorema.
El módulo como distancia
Propiedad: distancia entre dos complejos
Cada complejo \(z=a+bi\) se representa en el plano por el punto \((a,b)\), llamado su afijo. El módulo \(|z|\) es la distancia del afijo al origen, y la distancia entre los afijos de \(z\) y \(w\) es \(|z-w|\). Así, los complejos que cumplen \(|z-(2+i)|=3\) son los puntos de la circunferencia de centro \((2,1)\) y radio 3, y los que cumplen \(|z|<1\) forman el interior del círculo unidad. Además, se cumplen \(|z\cdot w|=|z|\cdot|w|\) y \(|z+w|\le|z|+|w|\) (desigualdad triangular).
Ejemplo 5
Calcula la distancia entre los afijos de \(z=5+2i\) y \(w=1-i\).
\(z-w=(5-1)+(2+1)i=4+3i\), de modo que la distancia es \(|4+3i|=\sqrt{16+9}=5\) unidades. Es la misma distancia que se obtendría con la fórmula de la geometría analítica entre los puntos \((5,2)\) y \((1,-1)\).
Forma trigonométrica y cambio de forma
Definición: forma trigonométrica
Si \(z=r_\alpha\), entonces \(a=r\cos\alpha\) y \(b=r\,\text{sen}\,\alpha\), de modo que \(z=r(\cos\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\). Esta expresión se llama forma trigonométrica y sirve de puente entre la forma binómica, cómoda para sumar y restar, y la forma polar, cómoda para multiplicar, dividir, elevar a potencias y extraer raíces. El argumento se suele dar en el intervalo \([0^\circ,360^\circ)\); se llama argumento principal.
Cómo se hace: pasar de forma binómica a forma polar
- Calcula el módulo \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Dibuja el punto \((a,b)\) para saber en qué cuadrante está.
- Calcula el ángulo agudo \(\theta=\arctan\left|\frac ba\right|\).
- Ajusta según el cuadrante: primero \(\alpha=\theta\); segundo \(\alpha=180^\circ-\theta\); tercero \(\alpha=180^\circ+\theta\); cuarto \(\alpha=360^\circ-\theta\).
- Si \(a=0\), el argumento es \(90^\circ\) o \(270^\circ\) según el signo de \(b\).
Ejemplo 6
Escribe \(z=-3-\sqrt3\,i\) en forma polar y comprueba el resultado.
Módulo: \(r=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt3\). El punto \((-3,-\sqrt3)\) está en el tercer cuadrante. Ángulo agudo: \(\theta=\arctan\frac{\sqrt3}{3}=30^\circ\). Argumento: \(180^\circ+30^\circ=210^\circ\). Por tanto, \(z=2\sqrt3_{210^\circ}\). Comprobación: \(2\sqrt3\cos210^\circ=2\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}2\right)=-3\) y \(2\sqrt3\,\text{sen}\,210^\circ=2\sqrt3\cdot\left(-\frac12\right)=-\sqrt3\).
¡Atención! el argumento que da la calculadora
La tecla \(\tan^{-1}\) de la calculadora solo devuelve ángulos entre \(-90^\circ\) y \(90^\circ\). Para \(z=-1+i\) daría \(\arctan(-1)=-45^\circ\), que corresponde al cuarto cuadrante, cuando el punto \((-1,1)\) está en el segundo: el argumento correcto es \(135^\circ\). Dibuja siempre el punto antes de dar el argumento. Tampoco confundas el conjugado con el opuesto: el conjugado de \(2+3i\) es \(2-3i\), y su opuesto es \(-2-3i\). Y recuerda que \(\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}\) no es \(\sqrt{36}=6\), sino \(2i\cdot3i=-6\).
Radicación de números complejos
Regla: raíces n-ésimas
Un complejo no nulo \(r_\alpha\) tiene exactamente \(n\) raíces \(n\)-ésimas, todas con módulo \(\sqrt[n]r\) y argumentos \(\beta_k=\frac{\alpha+360^\circ k}{n}\), con \(k=0,1,\ldots,n-1\). Las raíces se reparten de forma regular sobre una circunferencia de radio \(\sqrt[n]r\) centrada en el origen: son los vértices de un polígono regular de \(n\) lados.
Cómo se hace: calcular las raíces de un complejo
- Escribe el número en forma polar \(r_\alpha\).
- Calcula el módulo de las raíces, \(\sqrt[n]r\) (un número real positivo).
- Calcula el primer argumento, \(\frac{\alpha}{n}\), y suma \(\frac{360^\circ}{n}\) sucesivamente hasta tener \(n\) argumentos.
- Si se pide, pasa cada raíz a forma binómica con \(a=r\cos\beta\) y \(b=r\,\text{sen}\,\beta\).
Ejemplo 7
Calcula las raíces sextas de 1 y represéntalas.
\(1=1_{0^\circ}\). Las raíces tienen módulo 1 y argumentos \(0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ\) y \(300^\circ\): \(1\), \(\frac12+\frac{\sqrt3}2i\), \(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\), \(-1\), \(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\) y \(\frac12-\frac{\sqrt3}2i\). Son los vértices de un hexágono regular inscrito en la circunferencia unidad.
Interpretación geométrica de las operaciones
Propiedad: sumar es trasladar y multiplicar es girar
Si representamos los complejos como vectores del plano, la suma \(z+w\) se obtiene con la regla del paralelogramo: es una traslación. Multiplicar por \(r_\alpha\) estira el vector multiplicando su longitud por \(r\) y lo gira un ángulo \(\alpha\). En particular, multiplicar por \(i=1_{90^\circ}\) gira \(90^\circ\) en sentido antihorario, y tomar el conjugado es reflejar respecto del eje real. Por eso los complejos son la herramienta natural para describir giros en la informática gráfica y en la robótica.
Ejemplo 8
Un punto \(P=2+3i\) gira \(90^\circ\) alrededor del punto \(C=1+i\). ¿Dónde queda?
Trasladamos para que \(C\) sea el origen: \(P-C=1+2i\). Giramos multiplicando por \(i\): \((1+2i)i=-2+i\). Deshacemos la traslación sumando \(C\): \(-2+i+1+i=-1+2i\). El punto queda en \(-1+2i\), y se comprueba que \(|P-C|=|(-1+2i)-C|=\sqrt5\).
¿Sabías que? De números imposibles a números imprescindibles
Descartes llamó «imaginarios» a estos números en 1637, con cierto desprecio, y el nombre se quedó. Fue Rafael Bombelli quien en 1572 escribió las primeras reglas para operar con ellos, Euler introdujo el símbolo \(i\) en 1777 y Gauss los representó como puntos del plano a principios del siglo XIX. Hoy cualquier ingeniero de telecomunicaciones trabaja a diario con ellos: cada vez que escuchas música comprimida en el móvil o ves una película en streaming, un algoritmo basado en números complejos, la transformada de Fourier, ha descompuesto la señal en ondas.
El consejo de Otto
Suma y resta, en binómica; multiplica, divide, eleva y haz raíces, en polar.
Cómo usar los apuntes de números complejos de 1º Bachillerato Ciencias
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de números complejos y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de números complejos y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de números complejos de 1º Bachillerato Ciencias reúnen todo lo necesario para el tema.
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